Πως γίνεται η απλοποίηση ριζών;

Απλοποίηση Ριζών

Η απλοποίηση ριζών είναι μια διαδικασία που στοχεύει στη μείωση των εκφράσεων που περιλαμβάνουν ρίζες (τετραγωνικές ρίζες, κυβικές ρίζες ή γενικά ν-οστές ρίζες) στη πιο απλή μορφή τους. Εάν μια ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή μιας αλγεβρικής έκφρασης, συνήθως πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τη κατάλληλη ρίζα (διαδικασία ρητοποίησης) για να απλοποιήσουμε την έκφραση.

Βασικοί Κανόνες Απλοποίησης Ριζών

Για δύο πραγματικούς αριθμούς a,ba, b, ισχύουν οι εξής κανόνες:

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},$ , b ≠ 0
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ≠ $\sqrt{a + b}$
$\sqrt{a} – \sqrt{b}$ ≠ $\sqrt{a – b}$

Βήματα Απλοποίησης Ριζών

Απλοποίηση Ριζών με Τετραγωνική Ρίζα

Για να απλοποιήσουμε μια τετραγωνική ρίζα, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Βρίσκουμε τους παράγοντες του αριθμού μέσα στη ρίζα. Παράδειγμα: $\sqrt{486}$
$486 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .
Ομαδοποιούμε τους παράγοντες σε ζεύγη. $\sqrt{486} = \sqrt{(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot 2} = \sqrt{3^2 \cdot 3^2 \cdot 2}$ .
Βγάζουμε έξω από τη ρίζα κάθε παράγοντα που εμφανίζεται σε ζεύγος. $\sqrt{486} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}$ .

Απλοποίηση Ριζών με Μεταβλητές

Για να απλοποιήσουμε ρίζες που περιλαμβάνουν μεταβλητές, ακολουθούμε παρόμοια βήματα:

Αναλύουμε τις μεταβλητές σε δυνάμεις. Παράδειγμα: $\sqrt{100x^4y^6z^3}$
$\sqrt{100x^4y^6z^3} = \sqrt{10^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 \cdot z^2 \cdot z}$ .
Βγάζουμε έξω από τη ρίζα κάθε παράγοντα με εκθέτη πολλαπλάσιο του 2. $\sqrt{100x^4y^6z^3} = 10x^2 |y^3| |z| \sqrt{z}$ .

Απλοποίηση με Κυβικές Ρίζες ή Υψηλότερες

Παράδειγμα: Απλοποίηση της $\sqrt[5]{2^6 \cdot 3^5 \cdot 11}$ .

Βρίσκουμε τους παράγοντες και τους ομαδοποιούμε. $\sqrt[5]{2^6 \cdot 3^5 \cdot 11} = \sqrt[5]{(2^5 \cdot 2) \cdot 3^5 \cdot 11}$ .
Βγάζουμε έξω τους παράγοντες που εμφανίζονται σε ομάδες των 5. $\sqrt[5]{2^6 \cdot 3^5 \cdot 11} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[5]{2 \cdot 11} = 6 \sqrt[5]{22}$ .

Παράδειγμα με Διώνυμο στον Παρονομαστή

Απλοποιούμε την έκφραση $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} – \sqrt{2}}$ :

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με το συζυγές του παρονομαστή: $\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} – \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}$ .
Υπολογίζουμε το νέο παρονομαστή και αριθμητή: $= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{15} + 2 + \sqrt{6}}{5 – 2}$ .
Απλοποιούμε: $= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{15} + 2 + \sqrt{6}}{3}$ .

Συμπέρασμα

Η απλοποίηση ριζών αποτελεί βασική δεξιότητα στα μαθηματικά. Εφαρμόζοντας τους κανόνες και τα βήματα, μπορούμε να αναγνωρίζουμε και να διαχειριζόμαστε τις εκφράσεις με ρίζες, ώστε να τις γράφουμε στην απλούστερη δυνατή μορφή.