Τι είναι η διαφορά τετραγώνων;

Η διαφορά τετραγώνων είναι μια από τις πιο χρήσιμες αλγεβρικές ταυτότητες, η οποία χρησιμοποιείται ευρέως για την παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων και την επίλυση εξισώσεων. Η ταυτότητα δηλώνει ότι η διαφορά των τετραγώνων δύο αριθμών ισούται με το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς αυτών των αριθμών:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Τι Είναι η Διαφορά Τετραγώνων

Η διαφορά τετραγώνων εκφράζει τη σχέση ανάμεσα σε δύο τετράγωνα αριθμών, η οποία επιτρέπει την παραγοντοποίηση ή απλοποίηση παραστάσεων της μορφής $a^2 - b^2$ .

Η ταυτότητα αυτή εφαρμόζεται σε παραστάσεις με μεταβλητές, αριθμούς, ή και στα δύο.

Πώς Χρησιμοποιούμε τη Διαφορά Τετραγώνων

Για την παραγοντοποίηση ή επίλυση, η διαδικασία είναι η εξής:

Γράφουμε την παράσταση ως διαφορά τετραγώνων.
Εφαρμόζουμε την ταυτότητα: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ .
Χρησιμοποιούμε την παραγοντοποιημένη μορφή για περαιτέρω απλοποίηση ή επίλυση.

Παραδείγματα Παραγοντοποίησης

Παράδειγμα 1: Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποιήστε την παράσταση $x^2 - 16$ .
Λύση:
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)$ .

Παράδειγμα 2: Παραγοντοποίηση με δύο μεταβλητές

Παραγοντοποιήστε την παράσταση $9x^2 - 25y^2$ .
Λύση:
$9x^2 - 25y^2 = (3x)^2 - (5y)^2 = (3x + 5y)(3x - 5y)$ .

Παράδειγμα 3: Παραγοντοποίηση πολυωνύμου

Παραγοντοποιήστε την παράσταση $4x^4 - 9y^2$ .
Λύση:
$4x^4 - 9y^2 = (2x^2)^2 - (3y)^2 = (2x^2 + 3y)(2x^2 - 3y)$ .

Εφαρμογές της Διαφοράς Τετραγώνων

Η διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιείται συχνά για την επίλυση εξισώσεων, καθώς και στην παραγοντοποίηση για απλοποίηση πολύπλοκων παραστάσεων.

Επίλυση Εξισώσεων

Παράδειγμα 4: Εξίσωση με διαφορά τετραγώνων

Λύστε την εξίσωση $x^2 - 25 = 0$ .
Λύση:

Παραγοντοποιούμε την εξίσωση:
$x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5) = 0$ .
Θέτουμε κάθε παράγοντα ίσο με το μηδέν:
$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ , και
$x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ .
Άρα, οι λύσεις είναι $x = \pm 5$ .

Παράδειγμα 5: Εξίσωση με δύο μεταβλητές

Λύστε την εξίσωση $4x^2 - 9y^2 = 0$ .
Λύση:

Παραγοντοποιούμε την εξίσωση:
$4x^2 - 9y^2 = (2x + 3y)(2x - 3y) = 0$ .
Θέτουμε κάθε παράγοντα ίσο με το μηδέν:
$2x + 3y = 0 \Rightarrow 2x = -3y \Rightarrow x = -\dfrac{3y}{2}$ , και
$2x – 3y = 0 \Rightarrow 2x = 3y \Rightarrow x = \dfrac{3y}{2}$ .
Άρα, οι λύσεις είναι:
$x = \pm \dfrac{3y}{2}$ .

Παραδείγματα με πιο σύνθετες παραστάσεις

Παράδειγμα 6: Συνδυασμός με άλλες ταυτότητες

Παραγοντοποιήστε την παράσταση $x^4 - 16$ .
Λύση:

Εφαρμόζουμε διαφορά τετραγώνων:
$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)$ .
Παραγοντοποιούμε περαιτέρω το $x^2 - 4$ :
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ .
Άρα, $x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$ .

Παράδειγμα 7: Εξίσωση τρίτου βαθμού

Λύστε την εξίσωση $x^3 - x = 0$ .
Λύση:

Βγάζουμε κοινό παράγοντα $x$ :
$x(x^2 - 1) = 0$ .
Εφαρμόζουμε διαφορά τετραγώνων στο $x^2 - 1$ :
$x(x + 1)(x - 1) = 0$ .
Θέτουμε κάθε παράγοντα ίσο με το μηδέν:
$x = 0$ , $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ , και $x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ .
Άρα, οι λύσεις είναι: $x = 0, , x = -1, , x = 1$ .

Ενδιαφέροντα Γεγονότα

Η διαφορά τετραγώνων είναι πάντα πολλαπλάσιο δύο παραγόντων: Το άθροισμα και η διαφορά των αριθμών.
Όλοι οι περιττοί αριθμοί μπορούν να γραφούν ως διαφορά δύο τετραγώνων.
- Παράδειγμα: $7 = 4^2 - 3^2$ , $15 = 8^2 - 7^2$ .

Η ταυτότητα αυτή είναι χρήσιμη και απολύτως απαραίτητη σε προχωρημένες αλγεβρικές εφαρμογές.