Τι είναι η διακρίνουσα ορισμός;
Στα μαθηματικά, η διακρίνουσα ενός πολυωνύμου είναι μια συγκεκριμένη συνάρτηση των συντελεστών του. Είναι χρήσιμη για τον προσδιορισμό του είδους των λύσεων μιας πολυωνυμικής εξίσωσης χωρίς να χρειάζεται να βρεθούν αυτές οι λύσεις. Η διακρίνουσα μας πληροφορεί αν οι λύσεις (ρίζες) είναι πραγματικές ή μιγαδικές, ίσες ή άνισες. Γι’ αυτό και ονομάζεται “διακρίνουσα” — διακρίνει τους τύπους των λύσεων.
Η διακρίνουσα συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα Δ και χρησιμοποιείται σε διάφορες μορφές, όπως για τις δευτεροβάθμιες και τριτοβάθμιες εξισώσεις. Ανάλογα με την τιμή της (θετική, αρνητική ή μηδέν), μπορούμε να προβλέψουμε τη φύση των ριζών της εξίσωσης.
Τύπος Διακρίνουσας
Η διακρίνουσα υπολογίζεται διαφορετικά για δευτεροβάθμιες και τριτοβάθμιες εξισώσεις, αλλά σε κάθε περίπτωση εκφράζεται με όρους των συντελεστών του πολυωνύμου.
Διακρίνουσα δευτεροβάθμιας Εξίσωσης
Η διακρίνουσα μιας 2ου βαθμού εξίσωσης ax^2 + bx + c = 0 δίνεται από τον τύπο:
Αυτός ο τύπος είναι μέρος του γενικού τύπου επίλυσης της δευτέρου βαθμού εξίσωσης:
Η έκφραση b^2 – 4ac είναι η διακρίνουσα και καθορίζει τον τύπο των ριζών της εξίσωσης.
Βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης 2x^2 – 3x + 8 = 0 .
Συγκρίνοντας την εξίσωση με τη γενική μορφή ax^2 + bx + c = 0 , έχουμε a = 2 , b = -3 , και c = 8 . Επομένως, η διακρίνουσα είναι:
\Delta = (-3)^2 – 4(2)(8) = 9 – 64 = -55 .
Διακρίνουσα Κυβικής Εξίσωσης
Η διακρίνουσα μιας κυβικής εξίσωσης ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 δίνεται από τον τύπο:
Βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης x^3 – 3x + 2 = 0 .
Συγκρίνοντας την εξίσωση με τη μορφή ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 , έχουμε a = 1 , b = 0 , c = -3 , και d = 2 . Επομένως, η διακρίνουσα είναι:
\Delta = (0)^2(-3)^2 – 4(1)(-3)^3 – 4(0)^3(2) – 27(1)^2(2)^2 + 18(1)(0)(-3)(2) = 0 + 108 – 0 – 108 + 0 = 0 .
Διακρίνουσα και Φύση των Ριζών
Οι ρίζες μιας 2ου βαθμού εξίσωσης ax^2 + bx + c = 0 είναι οι τιμές του x που ικανοποιούν την εξίσωση. Μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Παρόλο που δεν μπορούμε να βρούμε τις ρίζες μόνο από τη διακρίνουσα, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη φύση των ριζών ως εξής:
– Αν η διακρίνουσα είναι θετική ( \Delta > 0 ): Η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
– Αν η διακρίνουσα είναι αρνητική ( \Delta < 0 ): Η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές μιγαδικές (μη πραγματικές) ρίζες.
– Αν η διακρίνουσα είναι μηδέν ( \Delta = 0 ): Η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα.
Leave a Reply