Οι εξισώσεις 1ου βαθμού αποτελούν τη βάση των μαθηματικών και χρησιμοποιούνται για την επίλυση αγνώστων ποσοτήτων. Είναι εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή έχει βαθμό ίσο με το ένα, δηλαδή η υψηλότερη δύναμη της μεταβλητής είναι το 1. Αυτές οι εξισώσεις γράφονται στη μορφή:
, όπου a και b είναι σταθεροί αριθμοί και x είναι η άγνωστη μεταβλητή.
Η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού είναι πάντα μία ευθεία γραμμή, είτε οριζόντια είτε κατακόρυφη. Στη συνέχεια, θα δούμε τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών των εξισώσεων, καθώς και εύκολα και δύσκολα παραδείγματα.
Βασικές Ιδιότητες Εξισώσεων Πρώτου Βαθμού
- Βαθμός Μεταβλητής: Ο βαθμός της μεταβλητής είναι πάντα ίσος με 1.
- Ισορροπία Εξίσωσης: Η εξίσωση παραμένει ίδια αν προσθέσουμε, αφαιρέσουμε, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέρη της με τον ίδιο αριθμό.
- Μορφή: Η γενική μορφή είναι ax + b = 0, όπου a ≠ 0.
- Λύση: Υπάρχει πάντα μία και μοναδική λύση για την εξίσωση.
Βήματα Επίλυσης Εξίσωσης Πρώτου Βαθμού
- Μετακίνηση Όρων: Φέρνουμε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή στη μία πλευρά της εξίσωσης και τους σταθερούς όρους στην άλλη αλλάζοντας πρόσημο. (δηλαδή χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους)
- Απλοποίηση Όρων: Απλοποιούμε τους σταθερούς όρους και τους συντελεστές της μεταβλητής.
- Απομόνωση της Μεταβλητής: Διαιρούμε με τον συντελεστή της μεταβλητής για να βρούμε την τελική τιμή της.
Παραδείγματα
Παρακάτω αναπτύσσονται διάφορα παραδείγματα με εξισώσεις 1ου βαθμού.
Παράδειγμα 1
Λύστε την εξίσωση: x + 4 = 10.
Λύση:
- Φέρνουμε τον σταθερό όρο 4 στο δεύτερο μέλος:
x = 10 – 4. - Υπολογίζουμε:
x = 6.
Η λύση είναι x = 6.
Παράδειγμα 2
Λύστε την εξίσωση: 3x – 2 = 4.
Λύση:
- Φέρνουμε τον σταθερό όρο 2 στο δεύτερο μέλος:
3x = 4 + 2 \implies 3x = 6. - Διαιρούμε με 3:
x = \dfrac{6}{3}. - Υπολογίζουμε:
x = 2.
Η λύση είναι x = 2.
Παράδειγμα 3
Λύστε την εξίσωση: \dfrac{2x – 3}{5} = 7.
Λύση:
- Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 5 για να απαλλαγούμε από το κλάσμα:
5 \cdot \dfrac{2x – 3}{5} = 5 \cdot 7 \implies 2x – 3 = 35. - Φέρνουμε τον σταθερό όρο 3 στο δεύτερο μέλος αλλάζοντας το πρόσημο:
2x = 35 + 3 \implies 2x = 38. - Διαιρούμε με 2:
x = \dfrac{38}{2}. - Υπολογίζουμε:
x = 19.
Η λύση είναι x = 19.
Παράδειγμα 4
Λύστε την εξίσωση: 4x + 5 = 2x – 7.
Λύση:
- Μεταφέρουμε τους όρους με x στο πρώτο μέλος και τους σταθερούς στο δεύτερο:
4x – 2x = -7 – 5 \implies 2x = -12. - Διαιρούμε με 2:
x = \dfrac{-12}{2}. - Υπολογίζουμε:
x = -6.
Η λύση είναι x = -6.
Αδύνατες και Αόριστες Εξισώσεις
Εκτός από τις εξισώσεις 1ου βαθμού που έχουν μία μοναδική λύση, υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι εξισώσεις μπορεί να είναι αδύνατες ή αόριστες.
Αδύνατες Εξισώσεις
Μια εξίσωση είναι αδύνατη όταν οι υπολογισμοί οδηγούν σε μια λανθασμένη δήλωση, όπως 5 = 0. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει καμία τιμή της μεταβλητής που να ικανοποιεί την εξίσωση.
Παράδειγμα
Λύστε την εξίσωση: 2x + 5 = 2x – 3.
Λύση:
- Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και από τα δύο μέλη: 2x – 2x = – 3 – 5 \implies 0x = -8.
- Η εξίσωση 0x = -8 είναι λανθασμένη.
Συμπέρασμα: Η εξίσωση είναι αδύνατη.
Αόριστες Εξισώσεις
Μια εξίσωση είναι αόριστη όταν οι υπολογισμοί οδηγούν σε μια ταυτολογία, όπως 0 = 0. Αυτό σημαίνει ότι οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής ικανοποιεί την εξίσωση, οπότε έχει άπειρες λύσεις.
Παράδειγμα
Λύστε την εξίσωση: 3(x + 2) = 3x + 6.
Λύση:
- Κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα: 3x + 6 = 3x + 6.
- Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και από τα δύο μέλη: 3x-3x = 6 – 6.
- Η εξίσωση 0x = 0/latex] είναι πάντα αληθής.
Συμπέρασμα: Η εξίσωση είναι αόριστη και έχει άπειρες λύσεις.
Εφαρμόστε τις παραπάνω τεχνικές για να επιλύσετε πιο περίπλοκες εξισώσεις. Η εξάσκηση είναι το κλειδί για την κατανόηση!
Αφήστε μια απάντηση