Η εξίσωση 1ου βαθμού με 2 αγνώστους είναι θεμελιώδης στην άλγεβρα και εκφράζει σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών (αγνώστων). Τέτοιες εξισώσεις έχουν τη γενική μορφή:

όπου x και y είναι οι άγνωστοι, ενώ a , b , και c είναι σταθερές, με την προϋπόθεση ότι a ≠ 0 ή b ≠ 0. Οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται γραμμικές επειδή η γραφική τους παράσταση είναι μια ευθεία γραμμή.

Μορφές Εξισώσεων Πρώτου Βαθμού με 2 Αγνώστους

Οι εξισώσεις πρώτου βαθμού μπορούν να εκφραστούν σε διάφορες μορφές:

1. Γενική μορφή: ax + by + c = 0
2. Mορφή με κλίση: y = mx + b , όπου m είναι η κλίση και b η τεταγμένη στη αρχή.
3. Μορφή κλίσης-σημείου: y – y_1 = m(x – x_1) , όπου m είναι η κλίση και (x_1, y_1) είναι ένα σημείο πάνω στην ευθεία.

Γραφική Παράσταση Εξισώσεων Πρώτου Βαθμού

Η γραφική παράσταση για την εξίσωση 1ου βαθμού με 2 αγνώστους είναι πάντα μια ευθεία. Αν θέλουμε να αναπαραστήσουμε γραφικά μια τέτοια εξίσωση, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Μετατρέπουμε την εξίσωση στη μορφή y = mx + b .
2. Υπολογίζουμε δύο ή περισσότερα σημεία θέτοντας τιμές για x και βρίσκοντας τις αντίστοιχες τιμές του y .
3. Ενώνουμε τα σημεία για να σχεδιάσουμε την ευθεία.

Παράδειγμα:

Γραφική παράσταση της εξίσωσης x + 2y – 4 = 0 :

1. Λύνουμε για y : y = -\dfrac{1}{2}x + 2 .
2. Υπολογίζουμε σημεία: Για x = 0, y = 2 και για x = 4, y = 0 .
3. Σχεδιάζουμε την ευθεία που περνά από τα σημεία (0, 2) και (4, 0) .

Σύστημα Εξισώσεων Πρώτου Βαθμού με 2 Αγνώστους

Ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων έχει τη μορφή:

<br /> \begin{cases}<br /> a_1x + b_1y + c_1 = 0\\<br /> a_2x + b_2y + c_2 = 0<br /> \end{cases}<br />

Η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x, y) που ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις. Οι γραφικές παραστάσεις αυτών των εξισώσεων μπορεί να είναι:

1. Τέμνουσες ευθείες: Το σύστημα έχει μοναδική λύση.
   
   
   Για παράδειγμα οι ευθείες x+2y+4=0 και 6x+y-9=0 τέμνονται στο (2,-3). Αρα αυτό το σημείο είναι η λύση του συστήματος.


2. Παράλληλες ευθείες: Το σύστημα δεν έχει λύση (αδύνατο).


Για παράδειγμα οι ευθείες x+2y+4=0 και x+2y-1=0 δεν τέμνονται σε κανένα σημειο. Είναι παράλληλες. Αρα δεν υπάρχει καμία λύση. Το σύστημα είναι αδύνατο.


3. Συμπίπτουσες ευθείες: Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (αόριστο).


Για παράδειγμα οι ευθείες x+2y+4=0 και x+2y+4=0 συμπίπτουν σε όλα τα σημεία τους. Αρα έχουν άπειρες λύσεις. Το σύστημα είναι αόριστο.

---

Μέθοδοι Επίλυσης Συστημάτων Εξισώσεων

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων:

1. Γραφική Μέθοδος

• • Σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων και βρίσκουμε το σημείο τομής.

2. Μέθοδος Αντικατάστασης

• • Λύνουμε μία εξίσωση για μία μεταβλητή και την αντικαθιστούμε στην άλλη.

Παράδειγμα:

<br />\begin{cases}<br />x + 2y – 7 = 0 \\<br />2x – 5y + 13 = 0<br />\end{cases}<br />

Λύνουμε την πρώτη εξίσωση για y :
y = \dfrac{7 – x}{2} .

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη:
2x – 5\left(\dfrac{7 – x}{2}\right) + 13 = 0 .

Λύνοντας, βρίσκουμε x = 1 και y = 3 .

3. Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών

• • Προσαρμόζουμε τις εξισώσεις ώστε να απαλειφθεί μία μεταβλητή με πρόσθεση ή αφαίρεση.

Παράδειγμα:

<br />\begin{cases}<br />2x + 3y – 11 = 0 \\<br />3x + 2y – 9 = 0<br />\end{cases}<br />

Πολλαπλασιάζουμε τις δύο εξισώσεις και στα δύο μέλη με το 3 και το -2 κατάλληλα και προσθέτουμε:

<br />\begin{cases}<br />6x + 9y – 33 = 0 \\<br />-6x – 4y + 18 = 0<br />\end{cases}<br />

Προκύπτει 5y = 15 , άρα y = 3 . Αντικαθιστούμε και βρίσκουμε x = 1 .




4. Μέθοδος Ορίζουσας




Χρησιμοποιούμε ορίζουσες για να υπολογίσουμε τις μεταβλητές.




x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}, y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} .

Παράδειγμα:
Έστω το γραμμικό σύστημα:
<br />\begin{cases}<br />x + y = 5 \\<br />2x – 3y = 4<br />\end{cases}<br />

Η λύση με τη μέθοδο της ορίζουσας έχει ως εξής:

1. 1. Υπολογισμός της κύριας ορίζουσας Δ:

Η κύρια ορίζουσα προκύπτει από τους συντελεστές των αγνώστων x και y:
Δ =<br />\begin{vmatrix}<br />1 & 1 \\<br />2 & -3<br />\end{vmatrix}<br />= (1)(-3) – (1)(2) = -3 – 2 = -5

1. 1. Υπολογισμός της ορίζουσας Δ_x:

Για την Δ_x, αντικαθιστούμε την πρώτη στήλη (συντελεστές του x) με τους σταθερούς όρους:
Δ_x =<br />\begin{vmatrix}<br />5 & 1 \\<br />4 & -3<br />\end{vmatrix}<br />= (5)(-3) – (1)(4) = -15 – 4 = -19

1. 1. Υπολογισμός της ορίζουσας Δ_y:

Για την Δ_y, αντικαθιστούμε τη δεύτερη στήλη (συντελεστές του y) με τους σταθερούς όρους:
Δ_y =<br />\begin{vmatrix}<br />1 & 5 \\<br />2 & 4<br />\end{vmatrix}<br />= (1)(4) – (5)(2) = 4 – 10 = -6

1. 1. Υπολογισμός των x και y:

Οι λύσεις είναι:
x = \dfrac{Δ_x}{Δ} = \dfrac{-19}{-5} = 3.8
y = \dfrac{Δ_y}{Δ} = \dfrac{-6}{-5} = 1.2

Άρα, η λύση του συστήματος είναι:
x = 3.8, \quad y = 1.2




---

Σημεία προς Υπενθύμιση




1. 1. Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης είναι ευθεία.




1. 1. Για την επίλυση συστήματος εξισώσεων με 2 μεταβλητές απαιτούνται τουλάχιστον δύο εξισώσεις.




1. 1. Το σύστημα μπορεί να έχει μία λύση, καμία λύση (αδύνατο) ή άπειρες λύσεις (αόριστο).




Μελετώντας τις γραμμικές εξισώσεις με 2 αγνώστους, κατανοούμε θεμελιώδεις αρχές της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Η κατανόηση αυτών των εννοιών ανοίγει τον δρόμο για την επίλυση πιο σύνθετων μαθηματικών προβλημάτων.