Τι είναι γραμμική εξίσωση και πως τη λύνω;

Τι είναι Γραμμική Εξίσωση;

Μια γραμμική εξίσωση είναι ένας τύπος αλγεβρικής εξίσωσης όπου ο βαθμός κάθε όρου είναι ίσος με 1. Αυτό σημαίνει ότι οι μεταβλητές στις γραμμικές εξισώσεις δεν έχουν εκθέτες μεγαλύτερους του 1. Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης είναι πάντα μια ευθεία γραμμή, γεγονός που εξηγεί και το όνομα της εξίσωσης.

Ποιος είναι ο ορισμός της Γραμμικής Εξίσωσης;

Μια γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση στην οποία ο κάθε όρος έχει εκθέτη ίσο με 1, και όταν αυτή αναπαρίσταται γραφικά, προκύπτει μια ευθεία γραμμή.

Παραδείγματα:

$y = 8x - 9$ είναι γραμμική εξίσωση.
$y = x^2 - 7$ δεν είναι γραμμική εξίσωση, διότι η δύναμη του $x$ είναι 2.

Ποιες είναι οι Μορφές Γραμμικών Εξισώσεων;

Υπάρχουν διάφορες μορφές για την έκφραση μιας γραμμικής εξίσωσης, όπως:

Μορφή 1:

$y = mx + c$ , όπου $m$ είναι η κλίση και $c$ είναι η τετμήνη του $y$ .
Γενική Μορφή:

Για μία μεταβλητή: $Ax + B = 0$ .
Για δύο μεταβλητές: $Ax + By + C = 0$ , όπου $A, B, C$ είναι πραγματικοί αριθμοί.

Παράδειγμα:

Η εξίσωση $x - 2y = 2$ αν την λύσω ως προς y μετατρέπεται σε $y = \dfrac{x}{2} – 1$ (μορφή 1).

Γραφική Αναπαράσταση

Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης:

Σε μία μεταβλητή ( $x$ ή $y$ ) είναι μια κατακόρυφη ή οριζόντια γραμμή.
Σε δύο μεταβλητές ( $x$ και $y$ ) είναι μια ευθεία γραμμή.

Παράδειγμα Γραφήματος

Για την εξίσωση $x - 2y = 2$ , οι συντεταγμένες προκύπτουν ως εξής:

x	y
0	-1
2	0
4	1
-2	-2

Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων δίνει μια ευθεία γραμμή.

Γραμμική Εξίσωση Μίας Μεταβλητής

Μια γραμμική εξίσωση μίας μεταβλητής είναι της μορφής $Ax + B = 0$ . Έχει βαθμό ίσο με 1 και μπορεί να λυθεί εύκολα μεταφέροντας τους αριθμούς στη μία πλευρά και τη μεταβλητή στην άλλη.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση $3x + 6 = 18$ :

$3x = 18 - 6$
$3x = 12$
$x = \dfrac{12}{3}$
$x = 4$

Γραμμική Εξίσωση Δύο Μεταβλητών

Μια γραμμική εξίσωση δύο μεταβλητών είναι της μορφής $Ax + By + C = 0$ . Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, όπως:

Μέθοδοι Επίλυσης Γραμμικής Εξίσωσης Δύο Μεταβλητών:

Γραφική Μέθοδος

- Σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των δύο γραμμικών εξισώσεων στο ίδιο σύστημα αξόνων.

- Το σημείο τομής των δύο γραμμών είναι η λύση του συστήματος.

Αν οι γραμμές είναι παράλληλες, το σύστημα δεν έχει λύση. Αν οι γραμμές συμπίπτουν, υπάρχουν άπειρες λύσεις.

Παράδειγμα:

Για τις εξισώσεις $x + y = 5$ και $x - y = 1$ :

Σχεδιάζουμε τις γραμμές και βρίσκουμε ότι τέμνονται στο $(3, 2)$ .

Γραφική Μέθοδος Επίλυσης γραμμικής εξίσωσης δύο μεταβλητών

Μέθοδος Αντικατάστασης

Επιλύουμε τη μία εξίσωση για μία μεταβλητή.
Υποκαθιστούμε την τιμή της μεταβλητής αυτής στην άλλη εξίσωση και λύνουμε για τη δεύτερη μεταβλητή.

Παράδειγμα:
Για τις εξισώσεις $x + y = 5$ (1) και $x - y = 1$ (2):

$y = 5 – x , \text{(από την (1) εξίσωση)}$

Αντικαθιστώντας την (1) στην (2) έχουμε:

$x - (5 - x) = 1$

$2x - 5 = 1$

$x = 3$

Αντικαθιστώντας το x=3 στην (1) έχουμε και ότι:

$y = 2$

Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών

Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τις δύο εξισώσεις για να εξαλειφθεί μία μεταβλητή.
Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει για τη δεύτερη μεταβλητή.

Παράδειγμα:
Για τις εξισώσεις $x + y = 5$ και $x - y = 1$ :

$\begin{cases}x + y = 5\\x – y = 1 \end{cases} \implies (x + y) + (x – y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3, , y = 2$

Μέθοδος Οριζουσών

Θέλουμε να λύσουμε το σύστημα: $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

Υπολογισμός της κύριας ορίζουσας (Δ): Η κύρια ορίζουσα είναι: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 – a_2b_1$

Αν $\Delta = 0$ , τότε το σύστημα είναι αδύνατο ή αόριστο.
Υπολογισμός της ορίζουσας για το $x$ ( $\Delta_x$ ): Αντικαθιστούμε τη στήλη του $x$ με τις σταθερές $c_1$ και $c_2$ : $\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 – c_2b_1$
Υπολογισμός της ορίζουσας για το $y$ ( $\Delta_y$ ): Αντικαθιστούμε τη στήλη του $y$ με τις σταθερές $c_1$ και $c_2$ : $\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 – a_2c_1$
Λύση του συστήματος: Υπολογίζουμε τις τιμές των μεταβλητών $x$ και $y$ : $x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}$

Παράδειγμα:

Λύσε το σύστημα: $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x – 2y = -3 \end{cases}$

Βήμα 1: Υπολογισμός της κύριας ορίζουσας ( $\Delta$ ): $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) – (1)(3) = -4 – 3 = -7$
Βήμα 2: Υπολογισμός της $\Delta_x$ : $\Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} = (8)(-2) – (-3)(3) = -16 + 9 = -7$
Βήμα 3: Υπολογισμός της $\Delta_y$ : $\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) – (1)(8) = -6 – 8 = -14$
Βήμα 4: Υπολογισμός των $x$ και $y$ : $x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{-7}{-7} = 1, \quad y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-14}{-7} = 2$

Η λύση του συστήματος είναι: $x = 1, \quad y = 2$

Συμβουλές για Γραμμικές Εξισώσεις:

1. Η λύση μιας γραμμικής εξίσωσης είναι η τιμή της μεταβλητής που επαληθεύει την εξίσωση.

1. Η γραφική παράσταση είναι πάντα μια ευθεία γραμμή.

1. Οποιαδήποτε μαθηματική πράξη (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός ή διαίρεση) μπορεί να εφαρμοστεί και στις δύο πλευρές της εξίσωσης χωρίς να αλλάξει η λύση.

Η κατανόηση και η επίλυση γραμμικών εξισώσεων αποτελεί βασικό μέρος των μαθηματικών, με εφαρμογές σε διάφορους τομείς όπως η φυσική, η οικονομία και η μηχανική.

Τι είναι γραμμική εξίσωση και πως τη λύνω;