Τι είναι η ορίζουσα και πως τις υπολογίζω;

Ορίζουσες

Η ορίζουσα είναι μια μαθηματική έννοια που συνδέεται με τετραγωνικούς πίνακες και αντιπροσωπεύει έναν αριθμό που περιγράφει διάφορες ιδιότητες του πίνακα, όπως την αντιστρεψιμότητά του και άλλα.

Ορισμός της Ορίζουσας

Για έναν τετραγωνικό πίνακα $C = [c_{ij}]$ τάξης $n \times n$ , η ορίζουσα ορίζεται ως ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, και συμβολίζεται ως:

\text{det}(C) \ \text{ή} \ |C|.

Παράδειγμα:
Για τον πίνακα CC:
$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},$
η ορίζουσα του CC είναι:

|C| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}.

Υπολογισμός Οριζουσών

Ορίζουσα Πίνακα 2×2

Για έναν πίνακα 2×2:
$C = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$
η ορίζουσα υπολογίζεται από τον τύπο:

|C| = ad - bc.

Παράδειγμα:
Για $C = \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},$ έχουμε:

|C| = (8 \cdot 4) – (6 \cdot 3) = 32 – 18 = 14.

Ορίζουσα Πίνακα 3×3

Για πίνακα 3×3:
$C = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix},$
η ορίζουσα υπολογίζεται από τον τύπο:

|C| = a_1 \cdot \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} – b_1 \cdot \begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} + c_1 \cdot \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}.

Παράδειγμα:
Για τον πίνακα:
$C = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 5 \\ 2 & 8 & 7 \end{bmatrix},$
υπολογίζουμε:
$|C| = 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 8 & 7 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 8 \end{vmatrix},$
που δίνει:

|C| = -144.

Ιδιότητες Οριζουσών

Η ορίζουσα της μοναδιαίου πίνακα είναι $1$ .
Αν ένας πίνακας περιέχει μια γραμμή ή στήλη μηδενικών, η ορίζουσα είναι $0$ .
Αν αλλάξουμε δύο γραμμές ή στήλες μεταξύ τους, η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο.
Αν πολλαπλασιάσουμε μια γραμμή ή στήλη με έναν αριθμό k, τότε η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με k.

Εφαρμογές Οριζουσών

Εξέταση αντιστρεψιμότητας πίνακα: Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του δεν είναι μηδέν.
Υπολογισμός εμβαδών και όγκων.
Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

Η ορίζουσα είναι ένα κρίσιμο εργαλείο της γραμμικής άλγεβρας, με ευρεία χρήση σε εφαρμογές της μηχανικής, των μαθηματικών και της φυσικής.