Τι είναι η παραγοντοποίηση τριωνύμου
Παραγοντοποίηση τριωνύμου είναι η διαδικασία μετατροπής μιας τριωνυμικής έκφρασης σε γινόμενο διωνυμικών εκφράσεων. Ένα τριώνυμο είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από τρεις όρους, και έχει τη γενική μορφή ax^2 + bx + c, όπου a και b είναι συντελεστές, και το c είναι σταθερά.
Βήματα για την παραγοντοποίηση τριωνύμου:
1. Εντοπισμός των τιμών του b (μεσαίος όρος) και c (τελευταίος όρος).
2. Εύρεση δύο αριθμών που αθροίζονται στο b και έχουν γινόμενο το c.
3. Χρήση αυτών των αριθμών για την παραγοντοποίηση της έκφρασης σε δύο διώνυμα.
Χρησιμοποιούμε δύο αριθμούς, όπως r και s , οι οποίοι ικανοποιούν τη συνθήκη ότι το άθροισμά τους είναι b και το γινόμενό τους είναι ac . Στη συνέχεια, το τριώνυμο γράφεται ως ax^2 + rx + sx + c και με χρήση της ομαδοποίησης και της ιδιότητας της διανομής γίνεται η παραγοντοποίηση. Τελικά, η παράσταση μετατρέπεται στη μορφή (x + r)(x + s) .
Κανόνες Παραγοντοποίησης Τριωνύμου
Υπάρχουν ορισμένοι κανόνες που διέπουν την παραγοντοποίηση τριωνύμων, βασισμένοι στα μαθηματικά σημεία (+) και (-) :
– Εάν όλοι οι όροι του τριωνύμου είναι θετικοί, τότε και οι δύο όροι των διωνύμων θα είναι θετικοί.
– Εάν ο τελευταίος όρος του τριωνύμου είναι αρνητικός αλλά οι άλλοι δύο θετικοί, τότε το ένα διώνυμο θα έχει αρνητικό όρο και το άλλο θετικό.
– Εάν ο μεσαίος και ο τελευταίος όρος είναι αρνητικοί και ο πρώτος όρος θετικός, τότε ένα διώνυμο θα έχει θετικό όρο και το άλλο αρνητικό.
– Αν ο τελευταίος και ο πρώτος όρος είναι θετικοί, αλλά ο μεσαίος αρνητικός, τότε και οι δύο όροι των διωνύμων θα είναι αρνητικοί.
Παραγοντοποίηση Τριώνυμου Δευτέρου Βαθμού σε Μια Μεταβλητή με τύπους vieta
Η γενική μορφή του τριωνύμου δευτέρου βαθμού σε μια μεταβλητή είναι ax² + bx + c, όπου a, b, c είναι σταθεροί όροι και το a, b, ή c δεν είναι μηδενικό. Για τις τιμές των a, b, c, αν b² – 4ac > 0, τότε μπορούμε πάντα να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού. Αυτό σημαίνει ότι ax² + bx + c = a(x + x1)(x + x2), όπου x1 και x1 είναι πραγματικοί αριθμοί.
Τώρα ας μάθουμε πώς να παραγοντοποιήσουμε με τύπους vieta ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα : Παραγοντοποίησε το 3x² – 4x – 4
Λύση
1. Πολλαπλασιάζουμε τον συντελεστή του x² και τον σταθερό όρο.
3 × -4 = -12
2. Σπάμε τον μεσαίο όρο -4x έτσι ώστε με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών να πάρουμε το αποτέλεσμα -12 (όπως προέκυψε στο πρώτο βήμα).
-4x = -6x + 2x
-6 × 2 = -12
3. Ξαναγράφουμε την κύρια εξίσωση αλλάζοντας τον μεσαίο όρο.
3x² – 4x – 4 = 3x² – 6x + 2x – 4
4. Συνδυάζουμε τους πρώτους δύο όρους και τους τελευταίους δύο όρους, απλοποιούμε την εξίσωση και βγάζουμε κοινό παράγοντα όπου υπάρχει.
3x² – 6x + 2x – 4 = 3x (x – 2) + 2(x – 2)
5. Παίρνουμε το (x – 2) ως κοινό από τους δύο όρους.
3x (x – 2) + 2(x – 2) =
Άρα, οι παράγοντες του 3x² – 4x – 4 είναι (x – 2) και (3x + 2).
Δηλαδή 3x² – 4x – 4 = (x – 2) (3x + 2)
Παραγοντοποίηση Τριώνυμου Δευτέρου Βαθμού σε Μια Μεταβλητή με χρήση διακρίνουσας
Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα : Παραγοντοποίησε το 3x² – 4x – 4
Λύση
1.Ορίζουμε τους συντελεστες του τριωνύμου
a=3, b = -4 και c=-4
2.Βρίσκουμε την διακρίνουσα
Δ = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \times 3 \times (-4) = 16 + 48 = 64
3.Βρίσκουμε τις λύσεις
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 3} = \dfrac{4 \pm 8}{6}
Άρα x1=2 και x2=\dfrac{-2}{3}
4.Κάνουμε αντικατάσταση τις λύσεις στην ισοδύναμη ισότητα του τριωνύμου ax^2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2):
3x^2 – 4x – 4 = 3(x – 2)(x – (\dfrac{-2}{3})) = (x – 2)(3x + 2)
Παραγοντοποίηση Τριώνυμου Δευτέρου Βαθμού σε Δύο Μεταβλητές
Δεν υπάρχει συγκεκριμένος τρόπος για να λυθεί ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού σε δύο μεταβλητές. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.
Λύση:
1. Αυτά τα τριώνυμα ακολουθούν τον ίδιο κανόνα όπως παραπάνω, δηλαδή πρέπει να σπάσουμε τον μεσαίο όρο.
x² + 3xy + 2y² = x² + 2xy + xy + 2y²
2. Απλοποιούμε την εξίσωση και παίρνουμε κοινούς παράγοντες όπου υπάρχουν.
x² + 2xy + xy + 2y² = x (x + 2y) + y (x + 2y)
3. Παίρνουμε το (x + 2y) ως κοινό από τους δύο όρους.
x (x + 2y) + y (x + 2y) = (x + y) (x + 2y)
Άρα, οι παράγοντες του x² + 3xy + 2y² είναι (x + y) και (x + 2y).
Δηλαδή x² + 3xy + 2y² = (x + y) (x + 2y)
Παραγοντοποίηση αν το Τριώνυμο είναι Ταυτότητα
Ας δούμε μερικές αλγεβρικές ταυτότητες:
| Ταυτότητα | Αναπτυγμένη Μορφή |
|---|---|
| (x + y)^2 | x^2 + 2xy + y^2 |
| (x – y)^2 | x^2 – 2xy + y^2 |
| (x^2 – y^2) | (x + y)(x – y) |
Λύση:
1. Αναγνωρίζουμε ποια ταυτότητα μπορεί να εφαρμοστεί στην έκφραση.
Μπορούμε να εφαρμόσουμε την ταυτότητα (x + y)² = x² + 2xy + y².
2. Αναδιατάσσουμε την έκφραση έτσι ώστε να εμφανιστεί στη μορφή της ταυτότητας.
9x² + 12xy + 4y² = (3x)² + 2 × 3x × 2y + (2y)²
3. Μόλις η έκφραση αναδιαταχθεί στη μορφή της ταυτότητας, γράφουμε τους παράγοντες της.
(3x)² + 2 × 3x × 2y + (2y)² = (3x + 2y)² = (3x + 2y)(3x + 2y)
Άρα, ο παράγοντας του 9x² + 12xy + 4y² είναι το (3x + 2y).
Δηλαδή 9x² + 12xy + 4y² = (3x + 2y)(3x + 2y)
Παραγοντοποίηση τριωνύμου με Συντελεστή του πρώτου όρου ίσος με 1
Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Λύση:
1. Συγκρίνουμε την εξίσωση με τη γενική μορφή για να λάβουμε τους συντελεστές.
Το ax² + bx + c είναι η γενική μορφή. Συγκρίνοντας την εξίσωση x² + 7x + 12, έχουμε a = 1, b = 7, και c = 12.
2. Βρίσκουμε τα ζευγάρια παραγόντων του c, δηλαδή του 12, έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το b, δηλαδή 7.
Τα ζεύγη παραγόντων του 12 είναι (1, 12), (2, 6), και (3, 4). Επομένως, το κατάλληλο ζεύγος είναι το 3 και το 4.
3. Προσθέτουμε κάθε αριθμό ξεχωριστά στο x.
(x + 3)(x + 4)
Άρα, οι παράγοντες του x² + 7x + 12 είναι (x + 3) και (x + 4).
Δηλαδή x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Leave a Reply