Ποιο είναι το πεδίο ορισμού lnx

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού lnx ;

Η συνάρτηση λογαρίθμου \ln{x} (φυσικός λογάριθμος) είναι μία από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις στα μαθηματικά και εμφανίζεται σε πολλά πεδία, όπως στην άλγεβρα, τον υπολογισμό και την ανάλυση. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής βασίζεται στον ορισμό του φυσικού λογαρίθμου \ln{x} .

πεδίο ορισμού lnx γρσφική παράσταση

Η συνάρτηση f(x) = \ln{x} είναι ορισμένη μόνο για θετικές τιμές του x . Αυτό συμβαίνει επειδή δεν υπάρχει λογάριθμος πραγματικού αριθμού για αρνητικές τιμές ή για το 0. Συγκεκριμένα:

– Για x > 0 , η συνάρτηση \ln{x} είναι ορισμένη.
– Για x \leq 0 , η συνάρτηση δεν ορίζεται.

Επομένως, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \ln{x} είναι το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών:

\text{Πεδίο ορισμού}: \{x \in \mathbb{R} : x > 0\}

Παράδειγμα 1:

f(x) = \ln{(2x + 1)} .

Έστω η συνάρτηση f(x) = \ln{(2x + 1)} . Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, το επιχείρημα 2x + 1 πρέπει να είναι θετικό:

2x + 1 > 0

Λύνουμε την ανίσωση:

2x > -1 x > -\frac{1}{2}

Άρα, το πεδίο ορισμού lnx είναι το σύνολο των x \in \mathbb{R} για τα οποία:

\text{Πεδίο ορισμού}: \{x \in \mathbb{R} : x > -\frac{1}{2}\}

Παράδειγμα 2:

f(x) = \ln{\left( \frac{x – 1}{x + 2} \right)} .

Για τη συνάρτηση f(x) = \ln{\left( \dfrac{x – 1}{x + 2} \right)} , το κλάσμα \frac{x – 1}{x + 2} πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εξετάσουμε πότε το κλάσμα είναι θετικό.

Βήμα 1: Εξετάζουμε την αριθμητική και την παρονομαστική παράσταση
– Το x – 1 είναι θετικό όταν x > 1 .
– Το x + 2 είναι θετικό όταν x > -2 .

Βήμα 2: Εξετάζουμε το πρόσημο του κλάσματος
Το κλάσμα \dfrac{x – 1}{x + 2} είναι θετικό όταν και οι δύο παραστάσεις είναι είτε θετικές είτε αρνητικές ταυτόχρονα:

– Όταν x > 1 , και οι δύο είναι θετικές.
– Όταν x < -2 , και οι δύο είναι αρνητικές.

Άρα, το κλάσμα είναι θετικό όταν x > 1 ή x < -2 .

Βήμα 3: Πεδίο ορισμού
Εξαιρούμε την τιμή x = -2 , καθώς στο σημείο αυτό ο παρονομαστής γίνεται μηδέν. Το τελικό πεδίο ορισμού είναι:

\text{Πεδίο ορισμού}: \{x \in \mathbb{R} : x > 1 \, \text{ή} \, x < -2\}

 


Μοιράσου το άρθρο:


A side profile of a woman in a russet-colored turtleneck and white bag. She looks up with her eyes closed.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”

— Χριστίνα, Μαθηματικός

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *