Ποιο είναι το πεδίο ορισμού ρίζας;
Το πεδίο ορισμού ρίζας αφορά τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση είναι ορισμένη. Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού x ορίζεται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς, καθώς η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν αποτελεί πραγματικό αριθμό.
Για παράδειγμα, στη συνάρτηση f(x) = \sqrt{x} , η τετραγωνική ρίζα του x είναι ορισμένη μόνο όταν το x \geq 0 . Επομένως, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι το σύνολο όλων των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών, δηλαδή: \text{Πεδίο ορισμού}: \{x \in \mathbb{R} : x \geq 0\}
Αυτό σημαίνει ότι το x μπορεί να πάρει τιμές από το 0 και πάνω. Περιλαμβάνεται και το 0, καθώς η \sqrt{0} = 0 .
Γενική Μορφή Συνάρτησης Ρίζας
Για μια πιο γενική συνάρτηση της μορφής f(x) = \sqrt{g(x)} , όπου g(x) είναι μια άλλη συνάρτηση, το πεδίο ορισμού εξαρτάται από τις τιμές του g(x) για τις οποίες η ρίζα είναι ορισμένη. Δηλαδή, η συνάρτηση g(x) πρέπει να είναι μη αρνητική:
Ας δούμε ένα παράδειγμα για να γίνει πιο κατανοητό.
Παράδειγμα 1
Έστω η συνάρτηση f(x) = \sqrt{x + 4} . Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της, πρέπει το x + 4 να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 0:
Άρα, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι το σύνολο των x \in \mathbb{R} για τα οποία:
\text{Πεδίο ορισμού}: \{x \in \mathbb{R} : x \geq -4\}Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι ορισμένη για όλες τις τιμές του x που είναι μεγαλύτερες ή ίσες με -4.
Ας δούμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα:
Παράδειγμα 2
Έστω η συνάρτηση f(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x – 2}} . Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής, πρέπει να εξετάσουμε δύο πράγματα:
1. Η παράσταση μέσα στη ρίζα πρέπει να είναι μη αρνητική.
2. Ο παρονομαστής δεν πρέπει να είναι μηδέν, γιατί η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται.
Ας ξεκινήσουμε από την ανάλυση του κλάσματος \dfrac{x + 1}{x – 2} .
Βήμα 1: Ορισμός του κλάσματος
Αρχικά, πρέπει ο παρονομαστής να μην είναι μηδέν:
Άρα:
x \neq 2Βήμα 2: Απαίτηση μη αρνητικότητας του κλάσματος
Η παράσταση μέσα στη ρίζα πρέπει να είναι **μη αρνητική**:
Για να λύσουμε αυτή την ανίσωση, εξετάζουμε τα πρόσημα του αριθμητή και του παρονομαστή:
– Ο αριθμητής x + 1 είναι θετικός όταν x \geq -1 .
– Ο παρονομαστής x – 2 είναι θετικός όταν x > 2 .
Βήμα 3: Εύρεση περιοχών λύσεων
Για να είναι το κλάσμα \dfrac{x + 1}{x – 2} θετικό ή μηδενικό, πρέπει είτε και ο αριθμητής και ο παρονομαστής να είναι θετικοί, είτε και οι δύο αρνητικοί.
– Όταν x > 2 , ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι και οι δύο θετικοί, οπότε το κλάσμα είναι θετικό.
– Όταν x < -1 , και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι αρνητικοί, οπότε το κλάσμα είναι θετικό.
Βήμα 4: Πεδίο ορισμού
Λαμβάνοντας υπόψη ότι x = 2 αποκλείεται γιατί ο παρονομαστής γίνεται μηδέν, το τελικό πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι:
Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι ορισμένη όταν το x είναι μικρότερο ή ίσο με -1, ή μεγαλύτερο από 2.
Αφήστε μια απάντηση