Τι είναι το πολυώνυμο;

Τι είναι πολυώνυμο;

Το πολυώνυμο είναι μια μαθηματική παράσταση που αποτελείτται από μεταβλητές και σταθερές που συνδέονται με τις πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Εκφράζει σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών.

Κύρια χαρακτηριστικά των πολυωνύμων:

– Μεταβλητές: Συμβολίζονται συνήθως με γράμματα, όπως $x$ , $y$ κ.λπ.
– Σταθερές: Αριθμοί, όπως $5$ ή $-2$ .
– Εκθέτες: Οι δυνάμεις των μεταβλητών, οι οποίες πρέπει να είναι μη αρνητικοί ακέραιοι.
– Όροι: Τα μέρη μιας πολυωνυμικής παράστασης που χωρίζονται με τα σύμβολα “+” ή “-“.

πολυώνυμο

Παραδείγματα πολυωνύμων:
1.

3x^2 + 5

– Εδώ,

x

είναι η μεταβλητή,

3

είναι ο συντελεστής του

x^2

, και

5

είναι η σταθερά.
2.

2xy - 7

– Εδώ,

2xy

είναι το γινόμενο δύο μεταβλητών

x

και

y

, και ο βαθμός είναι το άθροισμα των εκθετών των

x

και

y

Παραδείγματα που δεν είναι πολυώνυμα:
–

2x^{-2}

: Δεν επιτρέπεται ο αρνητικός εκθέτης.
–

\dfrac{1}{y+2}

: Δεν επιτρέπεται η διαίρεση με μεταβλητή.
–

\sqrt{2x}

: Δεν επιτρέπεται ο εκθέτης να είναι κλάσμα (εδώ

1/2

Βαθμός πολυωνύμου:

Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης των μεταβλητών του.

Παράδειγμα: Ο βαθμός του

3x^4 + 7

είναι 4.

Για πολλές μεταβλητές, αθροίζουμε τους εκθέτες κάθε όρου.

Για παράδειγμα:

Για να βρούμε τον βαθμό του πολυωνύμου $4x^2y + 3xy^2 + 5y^3$ , πρέπει να εξετάζουμε τον βαθμό κάθε όρου. Ο βαθμός κάθε όρου είναι το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών σε αυτόν τον όρο.

1. Πρώτος όρος: $4x^2y$
– Ο εκθέτης του $x$ είναι $2$ και του $y$ είναι $1$ .
– Ο βαθμός του όρου είναι $2 + 1 = 3$ .

2. Δεύτερος όρος: $3xy^2$
– Ο εκθέτης του $x$ είναι $1$ και του $y$ είναι $2$ .
– Ο βαθμός του όρου είναι $1 + 2 = 3$ .

3. Τρίτος όρος: $5y^3$
– Εδώ έχουμε μόνο το $y$ με εκθέτη $3$ .
– Ο βαθμός του όρου είναι $3$ .

Όλοι οι όροι έχουν βαθμό $3$ , οπότε ο βαθμός του πολυωνύμου είναι $3$ .

Άρα, ο βαθμός του πολυωνύμου είναι $3$ .

Τύποι πολυωνύμων με βάση τον αριθμό των όρων:

– Μονώνυμο: Πολυώνυμο με έναν όρο (π.χ. $6x^2$ ).
– Διώνυμο: Πολυώνυμο με δύο όρους (π.χ. $x + 5$ ).
– Τριώνυμο: Πολυώνυμο με τρεις όρους (π.χ. $3x^3 + 8x - 5$ ).

Τύποι πολυωνύμων με βάση τον βαθμό:

– Μηδενικό Πολυώνυμο: Βαθμός = $0$ (π.χ. $0$ ).
– Σταθερό Πολυώνυμο: Μόνο σταθεροί όροι, χωρίς μεταβλητές (π.χ. $7$ ).
– Γραμμικό Πολυώνυμο: Βαθμός = $1$ (π.χ. $x - 4$ ).
– Τετραγωνικό Πολυώνυμο: Βαθμός = $2$ (π.χ. $2x^2 - 7$ ).
– Κυβικό Πολυώνυμο: Βαθμός = $3$ (π.χ. $3x^3 - 2x$ ).

Πράξεις με πολυώνυμα:

Στα πολυώνυμα μπορούμε να εκτελέσουμε τις βασικές αριθμητικές πράξεις:
1. Πρόσθεση: Προσθέτουμε τους συντελεστές των όμοιων όρων.
2. Αφαίρεση: Αφαιρούμε τους συντελεστές των όμοιων όρων.
3. Πολλαπλασιασμός: Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου.

Παράδειγμα:

(2x + 3)(4x - 5) = 8x^2 - 10x + 12x - 15

4. Διαίρεση: Διαιρούμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου.

Ιδιότητες των πολυωνύμων:

1. Πρόσθεση/Αφαίρεση: Ο βαθμός του αποτελέσματος είναι το πολύ ίσος με τον μεγαλύτερο από τους βαθμούς των πολυωνύμων.
2. Πολλαπλασιασμός: Ο βαθμός του γινομένου είναι το άθροισμα των βαθμών των παραγόντων.
3. Παραγοντοποίηση: Διαχωρίζουμε τα πολυώνυμα σε γινόμενο απλούστερων παραγόντων.
4. Θεώρημα Μπεζού: Ένα πολυώνυμο $P(x)$ είναι διαιρετό με $x - a$ αν και μόνο αν $P(a) = 0$ .

Ρίζες των πολυωνύμων:

Οι ρίζες ενός πολυωνύμου είναι οι τιμές των μεταβλητών που κάνουν το πολυώνυμο ίσο με το μηδέν.

Πάμε να το κατανοήσουμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα Έστω το πολυώνυμο $P(x) = x^2 - 4x + 3$ . Για να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση $P(x) = 0$ , δηλαδή:

x^2 - 4x + 3 = 0

Μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση με τη μέθοδο παραγοντοποίησης.

Αρχικά, βρίσκουμε δύο αριθμούς που το άθροισμά τους είναι $-4$ (ο συντελεστής του $x$ ) και το γινόμενό τους είναι $3$ (ο σταθερός όρος). Αυτοί οι αριθμοί είναι το $-1$ και το $-3$ .

Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο ως εξής:

P(x) = (x - 1)(x - 3) = 0

Τώρα, εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το μηδέν:

$x - 1 = 0$ ή $x - 3 = 0$

Λύνοντας τις εξισώσεις:

– $x = 1$
– $x = 3$

Άρα, οι ρίζες του πολυωνύμου $P(x) = x^2 - 4x + 3$ είναι $x = 1$ και $x = 3$ .

Αυτές οι τιμές κάνουν το πολυώνυμο ίσο με το μηδέν: $P(1) = 0$ και $P(3) = 0$ .