Τι είναι η ρίζα πολυωνύμου
H ρίζα πολυωνύμου P(x) είναι η τιμή της μεταβλητής x για τις οποίες το πολυώνυμο εξισώνεται με το μηδέν, δηλαδή P(x) = 0 . Με άλλα λόγια, οι ρίζες είναι οι τιμές που ικανοποιούν την εξίσωση του πολυωνύμου. Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι πάντα ίσος με τον αριθμό των ριζών του πολυωνύμου.
Ρίζα πολυωνύμου ορισμός
Σε οποιοδήποτε πολυώνυμο, η ρίζα είναι η τιμή της μεταβλητής που ικανοποιεί το πολυώνυμο. Το πολυώνυμο είναι μια έκφραση που αποτελείται από μεταβλητές και συντελεστές της μορφής:
P_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0
όπου a_n \neq 0 και το n αναφέρεται στον βαθμό του πολυωνύμου, ενώ οι a_0, a_1, \dots, a_n είναι πραγματικοί συντελεστές. Ο βαθμός του πολυωνύμου καθορίζει τον αριθμό των ριζών που μπορεί να έχει. Οι ρίζες αυτές μπορεί να είναι διαφορετικές μεταξύ τους ή ίδιες.
Βρείτε τις ρίζες της πολυωνυμικής εξίσωσης: x^2 + 4x + 4 Λύση:
Το δοθέν πολυώνυμο είναι x^2 + 4x + 4 .Με παραγοντοποίηση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = 0
Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το μηδέν:
x + 2 = 0Άρα, x = -2 .
Και οι δύο ρίζες είναι ίδιες, δηλαδή x = -2 .
Βρείτε τις ρίζες της πολυωνυμικής εξίσωσης: 2x^3 + 7x^2 + 3
Λύση:
Το δοθέν πολυώνυμο είναι 2x^3 + 7x^2 + 3 . Παραγοντοποιούμε: 2x^3 + 7x^2 + 3 = x(2x^2 + 6x + 1) = x(2x + 1)(x + 3)
Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το μηδέν:
x = 0, \, 2x + 1 = 0, \, x + 3 = 0Άρα, οι ρίζες είναι:
x = 0, \, x = \frac{-1}{2}, \, x = -3 .
Ρίζες δευτεροβάθμιων Πολυωνύμων
Οι ρίζες είναι οι λύσεις του πολυωνύμου. Οι ρίζες μπορεί να είναι πραγματικές ή μιγαδικές (φανταστικές) και μπορεί να είναι διακριτές ή ίδιες. Μια 2ου βαθμού εξίσωση είναι της μορφής ax^2 + bx + c = 0 , όπου a \neq 0 , και οι ρίζες της δίνεται από τον τύπο:
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
Εάν οι συντελεστές a, b, c είναι πραγματικοί αριθμοί, ισχύει ότι:
– Αν b^2 – 4ac > 0 , τότε οι ρίζες είναι πραγματικές και άνισες.
– Αν b^2 – 4ac = 0 , τότε οι ρίζες είναι πραγματικές και ίδιες.
– Αν b^2 – 4ac < 0 , τότε οι ρίζες είναι μιγαδικές (φανταστικές).
Βρείτε τις ρίζες της δευτεροβάθμιας πολυωνυμικής εξίσωσης: x^2 – 10x + 26 = 0
Λύση:
Το δοθέν πολυώνυμο είναι x^2 – 10x + 26 = 0 .Οι συντελεστές είναι: a = 1, \, b = -10, \, c = 26 .Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:
D = b^2 – 4ac = 100 – 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 – 104 = -4 .
Επειδή D < 0 , οι ρίζες είναι μιγαδικές (φανταστικές).
Χρησιμοποιούμε τον τύπο της 2ου βαθμού εξίσωσης:
x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2i}{2} = 5 \pm i .
Άρα, οι ρίζες είναι 5 + i και 5 – i .
Βρείτε τις ρίζες της πολυωνυμικής εξίσωσης: x^4 – 81
Λύση:
Το δοθέν πολυώνυμο είναι x^4 – 81 = (x^2)^2 – 9^2 = (x^2 + 9)(x^2 – 9) . Παραγοντοποιούμε περαιτέρω: (x^2 + 9)(x + 3)(x – 3) .
Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το μηδέν:
Για x^2 + 9 = 0 , έχουμε x^2 = -9 , άρα x = \pm 3i (μιγαδικές ρίζες).
Για x + 3 = 0 , έχουμε x = -3 .
Για x – 3 = 0 , έχουμε x = 3 .
Άρα, οι ρίζες είναι 3i, \, -3i, \, 3, \, -3 .
Leave a Reply