Τι είναι η σειρά Maclaurin;
H σειρά Maclaurin βοηθά στο να γραφεί μια συνάρτηση ως άθροισμα όρων που περιλαμβάνουν τις παραγώγους της συνάρτησης. Αυτός ο τύπος βοηθά στον υπολογισμό της προσεγγιστικής τιμής μιας συνάρτησης. Στα μαθηματικά, κάποιες φορές είναι δύσκολο να υπολογιστούν ορισμένες συναρτήσεις, οπότε χρησιμοποιούνται προσεγγιστικοί τύποι όπου η συνάρτηση εκφράζεται ως σειρά. Υπάρχουν δύο τέτοιοι προσεγγιστικοί τύποι:
- Τύπος σειράς Taylor
- Τύπος σειράς Maclaurin
Ποιος είναι ο Τύπος Σειράς Maclaurin;
Ο τύπος σειράς Maclaurin είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου σειράς Taylor. Η σειρά Taylor μιας συνάρτησης f(x)
(η οποία είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση) στο x = a είναι:
Η σειρά Maclaurin είναι η σειρά Taylor όταν a = 0 . Δηλαδή, ο τύπος της σειράς Maclaurin προκύπτει αντικαθιστώντας a = 0 στον παραπάνω τύπο. Έτσι, ο τύπος της σειράς Maclaurin είναι:
Τύπος Σειράς Maclaurin
Ακολουθούν οι αναπτύξεις σειράς Maclaurin (που μπορούν να βρεθούν με χρήση του παραπάνω τύπου) για μερικές συνήθεις συναρτήσεις:
- e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
- \sin(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
- \cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
- \frac{1}{1 – x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad -1 < x < 1
- \ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}
Ας δούμε πώς να βρούμε αυτές τις αναπτύξεις χρησιμοποιώντας τον τύπο της σειράς Maclaurin στα παρακάτω λυμένα παραδείγματα.
Λυμένα Παραδείγματα Χρησιμοποιώντας τον Τύπο Σειράς Maclaurin
Παράδειγμα 1: Βρείτε την ανάπτυξη σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x) = e^x .
Λύση:
Θα βρούμε τις παραγώγους της συνάρτησης f(x) = e^x :
- f'(x) = e^x
- f''(x) = e^x
- f'''(x) = e^x
Είναι φανερό ότι f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = \cdots = e^0 = 1 .
Χρησιμοποιώντας τον τύπο της σειράς Maclaurin:
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdotsΑπάντηση: e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
Παράδειγμα 2: Βρείτε την ανάπτυξη σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x) = \sin(x) .
Λύση:
Θα βρούμε τις παραγώγους της συνάρτησης f(x) = \sin(x) :
- f'(x) = \cos(x)
- f''(x) = -\sin(x)
- f'''(x) = -\cos(x)
- f^{(4)}(x) = \sin(x)
- f^{(5)}(x) = \cos(x)
Είναι φανερό ότι:
- f(0) = f''(0) = f^{(4)}(0) = \cdots = 0
- f'(0) = 1
- f'''(0) = -1
- f^{(5)}(0) = 1
Χρησιμοποιώντας τον τύπο της σειράς Maclaurin:
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdotsΑπάντηση: \sin(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
Αφήστε μια απάντηση