Τι είναι η σειρά Maclaurin;

Τι είναι η σειρά Maclaurin;

H σειρά Maclaurin βοηθά στο να γραφεί μια συνάρτηση ως άθροισμα όρων που περιλαμβάνουν τις παραγώγους της συνάρτησης. Αυτός ο τύπος βοηθά στον υπολογισμό της προσεγγιστικής τιμής μιας συνάρτησης. Στα μαθηματικά, κάποιες φορές είναι δύσκολο να υπολογιστούν ορισμένες συναρτήσεις, οπότε χρησιμοποιούνται προσεγγιστικοί τύποι όπου η συνάρτηση εκφράζεται ως σειρά. Υπάρχουν δύο τέτοιοι προσεγγιστικοί τύποι:

  • Τύπος σειράς Taylor
  • Τύπος σειράς Maclaurin

Ποιος είναι ο Τύπος Σειράς Maclaurin;

Ο τύπος σειράς Maclaurin είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου σειράς Taylor. Η σειρά Taylor μιας συνάρτησης f(x)

(η οποία είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση) στο x = a είναι:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x – a)^n = f(a) + f'(a)(x – a) + \frac{f''(a)}{2!} (x – a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!} (x – a)^3 + \cdots

Η σειρά Maclaurin είναι η σειρά Taylor όταν a = 0 . Δηλαδή, ο τύπος της σειράς Maclaurin προκύπτει αντικαθιστώντας a = 0 στον παραπάνω τύπο. Έτσι, ο τύπος της σειράς Maclaurin είναι:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots

Τύπος Σειράς Maclaurin

Ακολουθούν οι αναπτύξεις σειράς Maclaurin (που μπορούν να βρεθούν με χρήση του παραπάνω τύπου) για μερικές συνήθεις συναρτήσεις:

  • e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
  • \sin(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
  • \cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
  • \frac{1}{1 – x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad -1 < x < 1
  • \ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}

Ας δούμε πώς να βρούμε αυτές τις αναπτύξεις χρησιμοποιώντας τον τύπο της σειράς Maclaurin στα παρακάτω λυμένα παραδείγματα.

Λυμένα Παραδείγματα Χρησιμοποιώντας τον Τύπο Σειράς Maclaurin

Παράδειγμα 1: Βρείτε την ανάπτυξη σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x) = e^x .

Λύση:

Θα βρούμε τις παραγώγους της συνάρτησης f(x) = e^x :

  • f'(x) = e^x
  • f''(x) = e^x
  • f'''(x) = e^x

Είναι φανερό ότι f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = \cdots = e^0 = 1 .

Χρησιμοποιώντας τον τύπο της σειράς Maclaurin:

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

Απάντηση: e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

Παράδειγμα 2: Βρείτε την ανάπτυξη σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x) = \sin(x) .

Λύση:

Θα βρούμε τις παραγώγους της συνάρτησης f(x) = \sin(x) :

  • f'(x) = \cos(x)
  • f''(x) = -\sin(x)
  • f'''(x) = -\cos(x)
  • f^{(4)}(x) = \sin(x)
  • f^{(5)}(x) = \cos(x)

Είναι φανερό ότι:

  • f(0) = f''(0) = f^{(4)}(0) = \cdots = 0
  • f'(0) = 1
  • f'''(0) = -1
  • f^{(5)}(0) = 1

Χρησιμοποιώντας τον τύπο της σειράς Maclaurin:

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots

Απάντηση: \sin(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}


Μοιράσου το άρθρο:


A side profile of a woman in a russet-colored turtleneck and white bag. She looks up with her eyes closed.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”

— Χριστίνα, Μαθηματικός

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *