Τι είναι η Σειρά Taylor
Η σειρά Taylor μιας συνάρτησης είναι ένα άπειρο άθροισμα όρων που εκφράζεται με βάση τις παραγώγους της συνάρτησης σε ένα σημείο, όπου κάθε επόμενος όρος περιέχει μεγαλύτερες δυνάμεις, όπως x , x^2 , x^3 κ.λπ.
Ο τύπος της σειράς Taylor μας επιτρέπει να αναπτύξουμε μια συνάρτηση γύρω από μια τιμή της μεταβλητής, χρησιμοποιώντας τις παραγώγους της συνάρτησης. Μπορεί να γραφεί ως εξής:
Ή,
όπου:
- f(x) είναι μια πραγματική ή μιγαδική συνάρτηση, η οποία είναι άπειρα παραγωγίσιμη στο σημείο a .
- n είναι ο συνολικός αριθμός των όρων της σειράς.
Παράδειγμα 1: Βρείτε την ανάπτυξη της σειράς Taylor για τη συνάρτηση f(x) = 2x – 2x^2 με κέντρο στο a = -3 .
Δίνοντας τη συνάρτηση f(x) = 2x – 2x^2 και το σημείο a = -3 , υπολογίζουμε τις παραγώγους:
- f(x) = 2x – 2x^2
- f'(x) = 2 – 4x
- f''(x) = -4
- f'''(x) = 0
Έχοντας a = -3 , η απαιτούμενη ανάπτυξη είναι:
f(x) = f(-3) + f'(-3)(x + 3) + \frac{f''(-3)}{2!} (x + 3)^2 + \frac{f'''(-3)}{3!} (x + 3)^3Αξιολογώντας τις παραγώγους στο x = -3 , προκύπτει η σειρά:
P_3(x) = -24 + 14(x + 3) – 2(x + 3)^2Παράδειγμα 2: Βρείτε την ανάπτυξη σειράς Taylor για τη συνάρτηση f(x) = \cos x με κέντρο στο x = 0 .
Η συνάρτηση f(x) = \cos x και οι παράγωγοί της είναι:
- f(x) = \cos(x)
- f'(x) = -\sin(x)
- f''(x) = -\cos(x)
- f'''(x) = \sin(x)
Αντικαθιστώντας a = 0 , προκύπτει:
\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \dotsΠαράδειγμα 3: Βρείτε τη σειρά Taylor για τη συνάρτηση f(x) = x^3 – 10x^2 + 6 στο σημείο x = 3 .
Με παραγώγους:
- f(x) = x^3 – 10x^2 + 6
- f'(x) = 3x^2 – 20x
- f''(x) = 6x – 20
- f'''(x) = 6
Η σειρά Taylor προκύπτει ως εξής:
f(x) = -57 + 33(x – 3) – (x – 3)^2 + (x – 3)^3
Αφήστε μια απάντηση