Σύνολα αριθμών – Ορισμός
Στα μαθηματικά, ένα σύνολο ορίζεται ως μια καλά καθορισμένη συλλογή αντικειμένων. Τα σύνολα αριθμών ονομάζονται και αναπαρίστανται με κεφαλαία γράμματα. Στη θεωρία συνόλων, τα στοιχεία που περιλαμβάνει ένα σύνολο μπορεί να είναι κάθε είδους πράγμα: άνθρωποι, γράμματα του αλφαβήτου, αριθμοί, σχήματα, μεταβλητές κ.λπ.
Σύνολα σε Παραδείγματα Μαθηματικών
Μερικά συνηθής μαθηματικά σύνολα είναι:
- Σύνολο φυσικών αριθμών, ℕ = {0,1, 2, 3, …}
- Σύνολο ακεραίων αριθμών, ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
- Σύνολο ρητών αριθμών, ℚ = {p/q | q είναι ακέραιος και q ≠ 0}
- Σύνολο άρρητων αριθμών, ℚ’ = {x | Το x δεν είναι ρητό}
- Σύνολο πραγματικών αριθμών, ℝ = ℚ ∪ ℚ’
Όλα αυτά είναι άπειρα σύνολα αριθμών που είδαμε παραπάνω. Αλλά μπορεί να υπάρχουν και πεπερασμένα σύνολα.
Για παράδειγμα, η συλλογή ζυγών φυσικών αριθμών μικρότερων από 10 μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή ενός συνόλου, A = {2, 4, 6, 8}, το οποίο είναι ένα πεπερασμένο σύνολο.
Ας χρησιμοποιήσουμε αυτό το παράδειγμα για να κατανοήσουμε τη βασική ορολογία που σχετίζεται με τα σύνολα στα μαθηματικά.
Στοιχεία ενός συνόλου
Τα στοιχεία που υπάρχουν σε ένα σύνολο ονομάζονται είτε στοιχεία είτε μέλη του συνόλου. Τα στοιχεία ενός συνόλου περικλείονται σε αγκύλες και χωρίζονται με κόμματα.
Για να δηλώσετε ότι ένα στοιχείο περιέχεται σε ένα σύνολο, χρησιμοποιείται το σύμβολο ‘∈‘.
Στο παραπάνω παράδειγμα, 2 ∈ A.
Εάν ένα στοιχείο δεν είναι μέλος ενός συνόλου, τότε συμβολίζεται με το σύμβολο ‘∉’.
Για παράδειγμα, 3 ∉ Α.
Πλήθος ενός συνόλου
Το πλήθος ενός συνόλου δηλώνει τον συνολικό αριθμό των στοιχείων στο σύνολο.
Παράδειγμα
Για φυσικούς άρτιους αριθμούς μικρότερους από 10, n(A) = 4. Αφού οι αριθμοί 2,4,6 και 8 είναι στο πλήθος τους τέσσερις.
Τα σύνολα αριθμών ορίζονται ως μια συλλογή μοναδικών στοιχείων. Μια σημαντική προϋπόθεση για τον ορισμό ενός συνόλου είναι ότι όλα τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να σχετίζονται μεταξύ τους και να μοιράζονται μια κοινή ιδιότητα.
Για παράδειγμα, αν ορίσουμε ένα σύνολο με τα στοιχεία τα ονόματα των μηνών ενός έτους, τότε μπορούμε να πούμε ότι όλα τα στοιχεία του συνόλου είναι οι μήνες του έτους.
Αναπαράσταση Συνόλων στη Θεωρία Συνόλων
Υπάρχουν διαφορετικοί συμβολισμοί συνόλων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση συνόλων στη θεωρία συνόλων. Διαφέρουν ως προς τον τρόπο με τον οποίο παρατίθενται τα στοιχεία. Ας κατανοήσουμε καθεμία από αυτές τις τρεις μορφές συνόλων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση συνόλων με ένα παράδειγμα:
| 1η μορφή (Σημασιολογική) | 2η μορφή | 3η μορφή |
|---|---|---|
| Σύνολο με τους πρώτους πέντε άρτιους φυσικούς αριθμούς | {2, 4, 6, 8, 10} | {x ∈ ℕ | x ≤ 10 και το x είναι άρτιο} |
Πράξεις σε σύνολα
Μερικές σημαντικές πράξεις σε σύνολα στη θεωρία συνόλων περιλαμβάνουν την ένωση, τομή, τη διαφορά, το συμπλήρωμα ενός συνόλου και το καρτεσιανό γινόμενο ενός συνόλου. Μια σύντομη επεξήγηση των λειτουργιών του συνόλου είναι η εξής.
Ένωση Συνόλων
Η ένωση συνόλων, η οποία συμβολίζεται ως A U B, παραθέτει τα στοιχεία του συνόλου Α και του συνόλου Β ή τα στοιχεία και του συνόλου Α και του συνόλου Β.
Τομή συνόλων
Η τομή των συνόλων που συμβολίζεται με A ∩ B παραθέτει τα στοιχεία που είναι κοινά τόσο στο σύνολο A όσο και στο σύνολο B.
Διαφορά συνόλων
Η διαφορά συνόλου που συμβολίζεται με Α – Β, παραθέτει τα στοιχεία στο σύνολο Α που δεν υπάρχουν στο σύνολο Β.
Συμπληρωματικό σύνολο
Συμπλήρωμα συνόλου που συμβολίζεται με Α’, είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του καθολικού συνόλου που δεν υπάρχουν στο σύνολο Α. Με άλλα λόγια, το Α’ συμβολίζεται ως Ω – A, που είναι η διαφορά στα στοιχεία του καθολικού σετ και σετ Α.
Καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων
Το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων που συμβολίζεται με Α × Β, είναι το γινόμενο δύο μη κενών συνόλων, όπου λαμβάνονται διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων.
Leave a Reply