Ποιες είναι οι ταυτότητες μαθηματικά;

Τι Είναι Αλγεβρικές Ταυτότητες Μαθηματικά;

Οι αλγεβρικές ταυτότητες μαθηματικά είναι εξισώσεις στην άλγεβρα όπου η τιμή του αριστερού μέρους της εξίσωσης είναι ίση με την τιμή του δεξιού μέρους της εξίσωσης. Ικανοποιούνται για οποιαδήποτε τιμή των μεταβλητών.
Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτό το θέμα, ας εξετάσουμε τα παρακάτω παραδείγματα: οι εξισώσεις $5x - 3 = 12$ , $10x - 6 = 24$ , και $x^2 + 5x + 6 = 0$ ικανοποιούνται μόνο για συγκεκριμένες τιμές του x και δεν ισχύουν γενικά για όλες τις τιμές.
Τώρα ας εξετάσουμε την εξίσωση $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ . Σημειώστε ότι αυτή η εξίσωση ικανοποιείται για οποιαδήποτε τιμή του x (δοκιμάστε να αντικαταστήσετε οποιονδήποτε αριθμό για το x και στις δύο πλευρές, και θα πρέπει να έχετε την ίδια απάντηση).

Αυτές οι ταυτότητες είναι χρήσιμες για την επίλυση πολλών μαθηματικών προβλημάτων. Οι τέσσερις βασικές αλγεβρικές ταυτότητες είναι οι εξής:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

(x + a)(x + b) = x^2 + x(a + b) + ab

Ταυτότητες Δύο Μεταβλητών

Ακολουθούν οι ταυτότητες της άλγεβρας με δύο μεταβλητές. Αυτές οι ταυτότητες μπορούν εύκολα να επαληθευτούν με την ανάπτυξη του τετραγώνου/κύβου και την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού πολυωνύμων.

Για παράδειγμα, για να επαληθεύσετε την πρώτη ταυτότητα παρακάτω:

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να επαληθεύσουμε και τις άλλες ταυτότητες.

Βασικές Ταυτότητες

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Παράδειγμα:

(2x + y)^2

.Λύση:
Για να επεκτείνουμε τη δεδομένη έκφραση, αντικαθιστούμε

a = 2x

και

b = y

στην ταυτότητα

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(2x + y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(y) + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2

Ταυτότητες Τριών Μεταβλητών

Οι αλγεβρικές ταυτότητες για τρεις μεταβλητές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως οι ταυτότητες για δύο μεταβλητές. Αυτές οι ταυτότητες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για την εύκολη διαχείριση των αλγεβρικών εκφράσεων με τον ελάχιστο αριθμό βημάτων.

Ταυτότητες Μαθηματικά:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ac)$
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$
$(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + ac + bc) - 2abc$

Παράδειγμα:
Όταν

a + b + c = 0

, ποια είναι η τιμή του

a^3 + b^3 + c^3

;Λύση:
Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα:

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)

Αντικαθιστώντας

(a + b + c) = 0

, έχουμε:

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0

Επομένως, $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ .

Ταυτότητες Παραγοντοποίησης

Οι αλγεβρικές ταυτότητες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για την εύκολη παραγοντοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων. Χρησιμοποιώντας αυτές τις ταυτότητες, μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε πιο πολύπλοκες εκφράσεις, όπως $a^4 - b^4$ , με τις βασικές ταυτότητες όπως $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ . Η παρακάτω λίστα παρουσιάζει μια σειρά από αλγεβρικές ταυτότητες που είναι χρήσιμες για την παραγοντοποίηση πολυωνύμων.

Ταυτότητες Παραγοντοποίησης:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
$x^2 + x(a + b) + ab = (x + a)(x + b)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Παράδειγμα:
Παραγοντοποιήστε το

a^4 - b^4

.
Λύση:

a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)