Τι είναι η τετραγωνική ρίζα;

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι εκείνος ο παράγοντας του αριθμού που όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει τον αρχικό αριθμό.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 9. Όταν το 3 πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει 9.

Αυτό γράφεται ως $3 \times 3$ ή $3^2$ .

Εδώ, ο εκθέτης είναι $2$ , και το διαβάζουμε και ως τετράγωνο.

Όταν ο εκθέτης είναι $1/2$ , αναφέρεται στην τετραγωνική ρίζα. Δηλαδή ισχυεί η παρακάτω σχέση:

\sqrt{n} = n^{1/2}

, όπου $n$ είναι ένας θετικός ακέραιος.

Για παράδειγμα, $\sqrt{3} = 3^{1/2}$

Ορισμός Τετραγωνικής Ρίζας

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι η τιμή που έχει δύναμη $1/2$ του αριθμού. Με άλλα λόγια, είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αρχικό αριθμό.

Συμβολίζεται με το σύμβολο $\sqrt{\ }$ και ο αριθμός κάτω από τη ρ ονομάζεται υπόριζο.

Πώς Υπολογίζεται η Τετραγωνική Ρίζα;

Για να βρούμε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού, αναζητούμε ποιος αριθμός όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον αρχικό αριθμό. Είναι εύκολο να βρούμε την τετραγωνική ρίζα για τους τέλειους τετράγωνους αριθμούς. Οι τέλειοι τετράγωνοι είναι θετικοί αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως το γινόμενο ενός αριθμού με τον εαυτό του, δηλαδή ως δύναμη $2$ . Υπάρχουν τέσσερις βασικές μέθοδοι για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας:

Μέθοδος Επαναλαμβανόμενης Αφαίρεσης
Μέθοδος Πρώτων Παραγόντων
Μέθοδος Εκτίμησης

Οι πρώτες τρεις μέθοδοι εφαρμόζονται σε τέλειους τετράγωνους αριθμούς, ενώ η μέθοδος μακράς διαίρεσης μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιονδήποτε αριθμό.

Μέθοδος Επαναλαμβανόμενης Αφαίρεσης

Αυτή είναι μια απλή μέθοδος. Αφαιρούμε διαδοχικά περιττούς αριθμούς από τον αριθμό μέχρι να φτάσουμε στο $0$ . Ο αριθμός των αφαιρέσεων είναι η τετραγωνική ρίζα του αριθμού. Η μέθοδος λειτουργεί μόνο για τέλειους τετράγωνους αριθμούς.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την $\sqrt{16}$ :

$16 - 1 = 15$
$15 - 3 = 12$
$12 - 5 = 7$
$7 - 7 = 0$

Παρατηρούμε ότι αφαιρέσαμε $4$ φορές. Άρα, $\sqrt{16} = 4$ .

Μέθοδος Πρώτων Παραγόντων

Η μέθοδος πρώτων παραγόντων περιλαμβάνει την ανάλυση ενός αριθμού στο γινόμενο πρώτων παραγόντων. Για να βρούμε την τετραγωνική ρίζα ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Διαιρούμε τον αριθμό σε πρώτους παράγοντες.
Δημιουργούμε ζεύγη παραγόντων έτσι ώστε και οι δύο παράγοντες του κάθε ζεύγους να είναι ίσοι.
Παίρνουμε έναν παράγοντα από κάθε ζεύγος.
Πολλαπλασιάζουμε τους παράγοντες που προέκυψαν από τα ζεύγη.
Το αποτέλεσμα είναι η τετραγωνική ρίζα του αριθμού.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την $\sqrt{144}$ :

$144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$

$\sqrt{144} = 2 \times 2 \times 3 = 12$

Μέθοδος Εκτίμησης

Η μέθοδος εκτίμησης μας βοηθά να προσεγγίσουμε την τετραγωνική ρίζα ενός μη τέλειου τετραγώνου.

Για παράδειγμα, για να βρούμε την $\sqrt{15}$ :

Οι πλησιέστεροι τέλειοι τετράγωνοι αριθμοί είναι

το $9$ ( $\sqrt{9} = 3$ ) και

το $16$ ( $\sqrt{16} = 4$ ).

Άρα, $\sqrt{15}$ είναι μεταξύ $3$ και $4$ . Συνεχίζοντας με μεγαλύτερη ακρίβεια:

$3.8^2 = 14.44$ και

$3.9^2 = 15.21$

Άρα $\sqrt{15} \approx 3.872$ .

Τετραγωνικοί Αριθμοί και Ρίζες

Παρακάτω παρατίθενται μερικοί τέλειοι τετραγωνικοί αριθμοί και οι τετραγωνικές ρίζες τους:

Τετραγωνική Ρίζα	Αποτέλεσμα
$\sqrt{1}$	$1$
$\sqrt{4}$	$2$
$\sqrt{9}$	$3$
$\sqrt{16}$	$4$
$\sqrt{25}$	$5$
$\sqrt{36}$	$6$
$\sqrt{49}$	$7$
$\sqrt{64}$	$8$
$\sqrt{81}$	$9$
$\sqrt{100}$	$10$
$\sqrt{121}$	$11$
$\sqrt{144}$	$12$
$\sqrt{169}$	$13$
$\sqrt{400}$	$20$

Τετραγωνική Ρίζα Αρνητικών Αριθμών

Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν είναι πραγματικός αριθμός, αλλά μιγαδικός αριθμός. Η κύρια τετραγωνική ρίζα του $-x$ είναι:

\sqrt{-x} = i\sqrt{x}

Για παράδειγμα, $\sqrt{-16} = 4i$ , όπου $i$ είναι η μονάδα των μιγαδικών αριθμών ( $i^2 = -1$ ).

Με τη χρήση αυτών των μεθόδων και τύπων αλλά και χρησιμοποιώντας ιδιότητες ριζών, μπορούμε να βρίσκουμε τετραγωνικές ρίζες για κάθε αριθμό, να κατανοούμε την έννοια και να την εφαρμόζουμε σε μαθηματικά προβλήματα!