Τι είναι το τριώνυμο;
Ένα τριώνυμο είναι μια αλγεβρική παράσταση που έχει τρεις μη μηδενικούς όρους και περιλαμβάνει περισσότερες από μία μεταβλητές στην έκφραση. Ένα τριώνυμο είναι ένας τύπος πολυωνύμου, αλλά με τρεις όρους. Ένα πολυώνυμο είναι μια αλγεβρική έκφραση που έχει έναν ή περισσότερους όρους και γράφεται με τη μορφή a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + a₂xⁿ⁻² + … + aₙx⁰ στη βασική του μορφή, όπου a₀, a₁, a₂, …, aₙ είναι σταθερές και n είναι φυσικός αριθμός. Ένα τριώνυμο μπορεί να εκφραστεί με πολλαπλές μεταβλητές και τρεις όρους.
5x^2 – 4x^2 + z
xyz^3 + x^2z^2 + zy^3
.
Παραδείγματα τριώνυμων με μία μεταβλητή είναι:
x^2 + 2x + 3
5x^4 – 4x^2 + 1
7y – √3 – y^2
Ένα πολυώνυμο μπορεί να αναφέρεται με διαφορετικά ονόματα ανάλογα με τον αριθμό των όρων που έχει. Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται τα ονόματα:
| Αριθμός Όρων | Πολυώνυμο | Παράδειγμα |
|---|---|---|
| 1 | Μονώνυμο | xy |
| 2 | Διώνυμο | x + y |
| 3 | Τριώνυμο | x² + xz + 1 |
Τέλειο Τετράγωνο Τριώνυμο
Ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο ορίζεται ως μια αλγεβρική παράσταση που προκύπτει από το τετράγωνο μιας διωνυμικής έκφρασης. Έχει τη μορφή
, όπου οι a, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί και a \neq 0.
Τριώνυμο Δευτέρου Βαθμού
Ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού είναι ένας τύπος αλγεβρικής παράστασης με μεταβλητές και σταθερούς όρους. Εκφράζεται στη μορφή
όπου το x είναι η μεταβλητή και οι a, b, και c είναι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί. Η σταθερά a ονομάζεται συντελεστής, το b είναι ο γραμμικός συντελεστής, και το c είναι η σταθερά.
Επιπλέον, ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού μπορεί να περιγράψει τη διακρίνουσα Δ, που ορίζεται ως:
Η διακρίνουσα βοηθά στην ταξινόμηση διαφορετικών περιπτώσεων τριωνύμων δευτέρου βαθμού. Αν η τιμή του τριωνύμου με μία μεταβλητή ισούται με μηδέν, τότε ονομάζεται εξίσωση δευτέρου βαθμού, δηλαδή ax^2 + bx + c = 0.
Πώς να Παραγοντοποιήσετε Τριώνυμα;
Η παραγοντοποίηση ενός τριωνύμου σημαίνει την επέκταση μιας εξίσωσης σε το γινόμενο δύο ή περισσότερων διωνύμων/μονοωνύμων. Γράφεται ως (x + m)(x + n). Ένα τριώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί με πολλούς τρόπους.
Ας δούμε μερικά παράδειγματα παραγοντοποίησης τριωνύμου
Παράδειγμα: Παραγοντοποιήστε το 3x^2 – 4x – 4 .
Λύση:
Α’ τρόπος
Με τους κανόνες παραγοντοποίησης μετατρέπουμε το τριώνυμο από άθροισμα σε γινόμενο.
1. Πολλαπλασιάζουμε τον συντελεστή του x^2 και τον σταθερό όρο:
3 \times (-4) = -12
2. Σπάμε τον μεσαίο όρο -4x ώστε το γινόμενο των συντελεστών να δίνει -12:
-4x = -6x + 2x
-6 \times 2 = -12
3. Ξαναγράφουμε την αρχική εξίσωση αντικαθιστώντας τον μεσαίο όρο:
3x^2 – 4x – 4 = 3x^2 – 6x + 2x – 4
4. Συνδυάζουμε τους δύο πρώτους και τους δύο τελευταίους όρους και βγάζουμε κοινό παράγοντα:
3x^2 – 6x + 2x – 4 = 3x(x – 2) + 2(x – 2)
5. Παίρνουμε κοινό το (x – 2) :
3x(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(3x + 2)
Συνεπώς, οι παράγοντες του 3x^2 – 4x – 4 είναι (x – 2) και (3x + 2) .
Β’ τρόπος
Με τους την μέθοδο της διακρίνουσας μετατρέπουμε το τριώνυμο από άθροισμα σε γινόμενο.
1.Βρίσκουμε την διακρίνουσα
Δ = (-4)^2 – 4 \times 3 \times (-4) = 16 + 48 = 64
2.Βρίσκουμε τις λύσεις
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 3} = \dfrac{4 \pm 8}{6}
Άρα x1=2 και x2=\dfrac{-2}{3}
3.Κάνουμε αντικατάσταση τις λύσεις στην ισοδύναμη ισότητα του τριωνύμου ax^2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2):
3x^2 – 4x – 4 = 3(x – 2)(x – (\dfrac{-2}{3})) = (x – 2)(3x + 2)
Ταυτότητες Τριωνύμων
Μερικές σημαντικές αλγεβρικές ταυτότητες είναι οι εξής:
| Ταυτότητα | Αναπτυγμένη Μορφή |
|---|---|
| (x + y)^2 | x^2 + 2xy + y^2 |
| (x – y)^2 | x^2 – 2xy + y^2 |
| (x^2 – y^2) | (x + y)(x – y) |
Παράδειγμα: Παραγοντοποιήστε το 9x^2 + 12xy + 4y^2
Λύση:
1. Εντοπίζουμε ποια ταυτότητα μπορεί να εφαρμοστεί. Χρησιμοποιούμε την (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 .
2. Αναδιατάσσουμε την έκφραση για να τη φέρουμε στη μορφή της ταυτότητας:
9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2
3. Οι παράγοντες είναι:
(3x + 2y)^2 = (3x + 2y)(3x + 2y)
Συνεπώς, οι παράγοντες είναι (3x + 2y) .
Leave a Reply