Ποιοι είναι οι τύποι vieta;

Οι τύποι του Vieta, γνωστοί και ως νόμοι του Vieta, βρίσκουν εφαρμογή στη συσχέτιση των συντελεστών των πολυωνύμων με τα αθροίσματα και τα γινόμενα των ριζών τους, καθώς και τα γινόμενα των ριζών που λαμβάνονται σε ομάδες. Ανακαλύφθηκαν από τον François Viète. Η πιο απλή εφαρμογή των τύπων του Vieta είναι στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων στην άλγεβρα. Ας κατανοήσουμε αναλυτικά τους τύπους του Vieta.

Οι τύποι του Vieta είναι ένα σύνολο εξισώσεων που συσχετίζουν τις ρίζες και τους συντελεστές των πολυωνύμων. Διαφορετικοί τύποι του Vieta ισχύουν για διαφορετικές περιπτώσεις. Οι πιο γνωστοί είναι οι εξής:

Τύπος του Vieta για Δευτεροβάθμια Πολυώνυμα:

Έστω ότι το πολυώνυμο είναι της μορφής $f(x) = ax^2 + bx + c$ και έχει ρίζες $r_1$ και $r_2$ . Τότε οι τύποι του Vieta δίνουν:

– Άθροισμα των ριζών:

r_1 + r_2 = -\dfrac{b}{a}

– Γινόμενο των ριζών:

r_1  \times r_2 = \dfrac{c}{a}

Τύπος του Vieta για Γενικά Πολυώνυμα Υψηλότερου Βαθμού:

Έστω ότι έχουμε ένα πολυώνυμο $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ με σύνθετους συντελεστές και βαθμό n, που έχει σύνθετες ρίζες $r_n, r_{n-1}, \dots, r_1$ . Τότε, για οποιοδήποτε ακέραιο $0 \leq k \leq n$ , ισχύει:

\sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_k \leq n} r_{i_1} r_{i_2} \dots r_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}

Παράδειγμα 1:
Θεωρήστε το ακόλουθο δευτεροβάθμιο πολυώνυμο

p(x) = x^2 - 7x +12

. Βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών χρησιμοποιώντας τους τύπους του Vieta και βρείτε τις λύσεις τηε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.Λύση:

a = 1, b = - 7, c = 12

Για να βρούμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών του πολυωνύμου, χρησιμοποιούμε τους τύπους του Vieta:

– Άθροισμα των ριζών:

r_1 + r_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{-(-7)}{1} = 7

– Γινόμενο των ριζών:

r_1 \times r_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{12}{1} = 12

Επομένως,
άθροισμα των ριζών = 7, Γινόμενο των ριζών = 12.

Τώρα, ψάχνω δύο αριθμούς που αν τους προσθέσεις δίνους άθροισμα 7 και αν τους πολλαπλασιάσεις δίνουν γινόμενο 12.

Κάνω δοκιμές και βρίσκω:

r_1 = 3 και r_2 = 4

Αφού

$r_1 + r_2 = 3 +4 = 7$ και $r_1 \times r_2 = 3 \times 4 = 12$

Παράδειγμα 2:
Το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου p(x) είναι 9 και 20 αντίστοιχα. Επίσης, δίνεται ότι

p(6) = 4

. Βρείτε το πολυώνυμο

p(x)

.
Λύση:Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Vieta και αντικαθιστώντας τις τιμές του αθροίσματος και του γινομένου των ριζών, μπορούμε να γράψουμε το πολυώνυμο ως:

p(x) = k(x^2 - 9x + 20)

Τώρα, δεδομένου ότι $p(6) = 4$ , αντικαθιστούμε το x με 6:

$k(6^2 – 9 \times 6 + 20) = 4$
$k(36 - 54 + 20) = 4$
$2k = 4$
$k = 2$

Επομένως, το πολυώνυμο είναι:

$p(x) = 2(x^2 - 9x + 20)$
$p(x) = 2x^2 - 18x + 40$

Επομένως,
το πολυώνυμο είναι $p(x) = 2x^2 - 18x + 40$ .

Ποιοι είναι οι τύποι vieta;

Ποιοι είναι οι τύποι vieta;

Τύπος του Vieta για Δευτεροβάθμια Πολυώνυμα:

Τύπος του Vieta για Γενικά Πολυώνυμα Υψηλότερου Βαθμού:

Leave a Reply Cancel reply