Τι είναι οι ακέραιοι αριθμοί;

Τι είναι οι ακέραιοι αριθμοί;

Οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς, τους αρνητικούς αριθμούς και το μηδέν.

Ακέραιοι Ορισμός

Ένας ακέραιος είναι ένας αριθμός χωρίς δεκαδικό ή κλασματικό μέρος και περιλαμβάνει αρνητικούς και θετικούς αριθμούς, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός. Μερικά παραδείγματα ακεραίων είναι: -23,-8, 0, 1, 5, 8, 97. Ένα σύνολο ακεραίων αριθμών, το οποίο αναπαρίσταται ως Z, περιλαμβάνει:

• Θετικοί αριθμοί: Ένας αριθμός είναι θετικός αν είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Παράδειγμα: 1, 2, 3, . . .
• Αρνητικοί αριθμοί: Ένας αριθμός είναι αρνητικός εάν είναι μικρότερος από το μηδέν. Παράδειγμα: -1, -2, -3, . . .
• Το μηδέν δεν ορίζεται ούτε ως αρνητικός ούτε ως θετικός αριθμός. Είναι ακέραιος αριθμός.

Σύνολο ακεραίων

Το σύνολο των ακεραίων αντιπροσωπεύεται από το γράμμα Z και γράφεται όπως φαίνεται παρακάτω:

Z = {… -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Παρατηρήστε το παρακάτω σχήμα για να κατανοήσετε τον ορισμό των ακεραίων.

Ακέραιοι αριθμοί σε μια αριθμητική γραμμή

Μια αριθμητική γραμμή είναι μια οπτική αναπαράσταση αριθμών σε μια ευθεία γραμμή. Αυτή η γραμμή χρησιμοποιείται για τη σύγκριση αριθμών που τοποθετούνται σε ίσα διαστήματα σε μια άπειρη γραμμή που εκτείνεται και στις δύο πλευρές, οριζόντια. Όπως και άλλοι αριθμοί, το σύνολο των ακεραίων μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί σε μια αριθμητική γραμμή.

Λειτουργίες ακέραιου αριθμού

Οι τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις που σχετίζονται με ακέραιους αριθμούς είναι:

• Προσθήκη Ακεραίων
• Αφαίρεση Ακεραίων
• Πολλαπλασιασμός Ακεραίων
• Διαίρεση ακεραίων

Όμως υπάρχουν και ορισμένοι κανόνες για την εκτέλεση αυτών των πράξεων ακεραίων:

• Εάν δεν υπάρχει πρόσημο μπροστά από έναν αριθμό, σημαίνει ότι ο αριθμός είναι θετικός. Για παράδειγμα, το 5 σημαίνει +5.
• Η απόλυτη τιμή ενός ακέραιου είναι ένας θετικός αριθμός, δηλ. |−2| = 2 και |2| = 2.

 

Προσθήκη Ακεραίων

Η προσθήκη ακεραίων είναι η διαδικασία εύρεσης του αθροίσματος δύο ή περισσότερων ακεραίων όπου η τιμή μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί ανάλογα με τον θετικό ή αρνητικό ακέραιο.

Κατά την προσθήκη δύο ακεραίων, χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους κανόνες:

• Όταν και οι δύο ακέραιοι έχουν τα ίδια πρόσημα: Προσθέστε τις απόλυτες τιμές των ακεραίων και δώστε στο αποτέλεσμα το ίδιο πρόσημο με αυτό των δοσμένων ακεραίων.

• Όταν ο ένας ακέραιος είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός: Βρείτε τη διαφορά των απόλυτων τιμών των αριθμών και μετά δώστε το πρόσημο του μεγαλύτερου από αυτούς τους αριθμούς στο αποτέλεσμα.

Αφαίρεση Ακεραίων

Η αφαίρεση ακεραίων είναι η διαδικασία εύρεσης της διαφοράς μεταξύ δύο ή περισσότερων ακεραίων όπου η τελική τιμή μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί ανάλογα με τον θετικό ή αρνητικό ακέραιο.

Για να πραγματοποιήσουμε την αφαίρεση δύο ακεραίων, χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους κανόνες:

Μετατρέψτε την πράξη της αφαίρεσης σε πρόσθεση και χρεισιμοποιείστε τους κανόνες πρόσθεσης ακεραίων. Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα για να το κατανοήσουμε:

Πολλαπλασιασμός Ακεραίων

Για τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων, χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους κανόνες που δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Πρόσημα	Αποτέλεσμα	Παράδειγμα
(+) × (+)	+	2 × 4 = 8
(+) × (-)	–	2 × (-4) = -8
(-) × (+)	–	(-2) × 4 = -8
(-) × (-)	+	(-2) × (-4) = 8

 

Διαίρεση ακεραίων

Για τη διαίρεση των ακεραίων χρησιμοποιούμε τους κανόνες που δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Πρόσημα	Αποτέλεσμα	Παράδειγμα
(+) ÷ (+)	+	4 ÷ 2 = 2
(+) ÷ (-)	–	4 ÷ (-2) = -2
(-) ÷ (+)	–	(-4) ÷ 2 = -2
(-) ÷ (-)	+	(-4) ÷ (-2) = 2

Ιδιότητες ακεραίων

Οι κύριες ιδιότητες των ακεραίων είναι οι εξής:

• Ιδιότητα Κλειστότητας

Η ιδιότητα κλειστότητας δηλώνει ότι αν δύο αριθμοί διαπράττουν μεταξύ του μία αριθμητική πράξη και είναι και οι δύο αριθμοί ακέραιοι τότε και το αποτέλεσμα τους θα είναι ακέραιο. Δηλαδή:

a + b ∈ Z
a – b ∈ Z
a × b ∈ Z
a/b ∈ Z

• Προσεταιριστική Ιδιότητα

Σύμφωνα με τη προσεταιριστική ιδιότητα, η αλλαγή της ομαδοποίησης δύο ακεραίων δεν αλλάζει το αποτέλεσμα της πράξης. Αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό δύο ακεραίων αριθμών.

Για οποιουσδήποτε δύο ακέραιους, a και b:

α + (β + γ) = (α + β) + γ
α × (β × γ) = (α × β) × γ

• Αντιμεταθετική Ιδιότητα

Σύμφωνα με την αντιμεταθετική ιδιότητα, η αλλαγή της θέσης των τελεστών σε μια πράξη δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ακεραίων αριθμών.

Για οποιουσδήποτε δύο ακέραιους, a και b:

α + β = β + α
a × b = b × a

• Επιμεριστική ιδιότητα

Η επιμεριστική ιδιότητα δηλώνει ότι για οποιαδήποτε έκφραση της μορφής a (b + c), που σημαίνει a × (b + c), ο τελεστής a μπορεί να κατανεμηθεί μεταξύ των τελεστών b και c ως: (a × b) + (a × γ) δηλαδή,

α × (β + γ) = (α × β) + (α × γ)

• Ιδιότητα αντίθετου στοιχείου

Η ιδιότητα αντίθετου στοιχείου δηλώνει ότι η πράξη πρόσθεσης μεταξύ οποιουδήποτε θετικού ακέραιου αριθμού και της αρνητικής τιμής του θα δώσει το αποτέλεσμα ως μηδέν (0).

Για κάθε ακέραιο, ένα:

a + (-a) = 0

• Ιδιότητα αντίστροφου στοιχείου

Η ιδιότητα αντίστροφου στοιχείου δηλώνει ότι η πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ οποιουδήποτε ακέραιου και του αμοιβαίου του θα δώσει το αποτέλεσμα ως ένα (1).

Για κάθε ακέραιο, a: a × 1/a = 1

• Ιδιότητα ουδέτερου στοιχείου

Η ιδιότητα ουδέτερου στοιχείου δηλώνει ότι όταν προστίθεται το μηδέν σε έναν ακέραιο, καταλήγει στον ίδιο τον ακέραιο. Ομοίως, όταν το 1 πολλαπλασιάζεται σε οποιονδήποτε ακέραιο, καταλήγει στον ίδιο τον ακέραιο.

Για κάθε ακέραιο,

a + 0 = a

a × 1 = a