Τι είναι οι Φανταστικοί Αριθμοί;

Οι φανταστικοί αριθμοί είναι αριθμοί που καταλήγουν σε αρνητικό αριθμό όταν τετραγωνίζονται. Ορίζονται επίσης ως η τετραγωνική ρίζα των αρνητικών αριθμών.

Ένας φανταστικός αριθμός είναι το γινόμενο ενός μη μηδενικού πραγματικού αριθμού και της φανταστικής μονάδας “i” (η οποία είναι επίσης γνωστή ως “γιώτα”),

Ας προσπαθήσουμε να τετραγωνίσουμε μερικούς πραγματικούς αριθμούς:

• (−2)^2 = −2 ×(−2) = 4
• 5^2 = 5×5 = 25
• (1,3)^2 = 1,3×1,3 = 1,69

Είναι κάποιο από τα αποτελέσματα αρνητικός αριθμός; Όχι.

Σημαίνει ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού είναι πάντα θετικό.

Τότε ποιος αριθμός καταλήγει σε αρνητικό τετράγωνο; Είναι ένας φανταστικός αριθμός.

Στα μαθηματικά, συναντάμε πολλές φορές την τετραγωνική ρίζα αρνητικών αριθμών.. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η χρήση φανταστικών αριθμών είναι υποχρεωτική. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα φανταστικών αριθμών:

Μπορούμε να δούμε ότι καθένας από αυτούς τους αριθμούς είναι γινόμενο ενός μη μηδενικού πραγματικού αριθμού και i. Έτσι, μπορούμε να εξαγάγουμε έναν κανόνα για φανταστικούς αριθμούς που είναι:

Πρόκειται για ένα μέρος μιγαδικών αριθμών, όπου ένας μιγαδικός αριθμός είναι το άθροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού αριθμού. Δηλαδή, ένας μιγαδικός αριθμός είναι της μορφής a + ib, όπου και το ‘a’ και το ‘b’ είναι πραγματικοί αριθμοί και εδώ το bi είναι ένας φανταστικός αριθμός.

 

Γεωμετρική Ερμηνεία Φανταστικών Αριθμών

Συνήθως παριστάνουμε έναν μιγαδικό αριθμό a+bi με ένα σημείο (a, b) στο επίπεδο.

Για παράδειγμα, ένας μιγαδικός αριθμός 1-3i αντιπροσωπεύει το σημείο (1, -3) στο επίπεδο . Έτσι, ένας φανταστικός αριθμός bi (που μπορεί να γραφτεί ως 0 + bi) αντιπροσωπεύει ένα σημείο (0, b) στο επίπεδο και ως εκ τούτου είναι ένα σημείο στον κατακόρυφο άξονα (φανταστικός άξονας). Έτσι, οι φανταστικοί αριθμοί βρίσκονται πάντα στον κατακόρυφο άξονα ενός επιπέδου.

Υπολογισμός Φανταστικών Αριθμών

Μπορούμε να κάνουμε όλους τους υπολογισμούς σε φανταστικούς αριθμούς, όπως ακριβώς κάνουμε και με τους πραγματικούς αριθμούς. Ας δούμε πώς τα κάνουμε.

Προσθήκη/Αφαίρεση Φανταστικών Αριθμών
Η πρόσθεση ή η αφαίρεση φανταστικών αριθμών είναι ακριβώς όπως το πώς συνδυάζουμε τους όμοιους όρους στην άλγεβρα.

 

Πολλαπλασιασμός με Φανταστικούς Αριθμούς
Πολλαπλασιάζουμε τους φανταστικούς αριθμούς όπως ακριβώς πολλαπλασιάζουμε τους όρους στην άλγεβρα. Εδώ, ίσως χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα των εκθετών a^m × a^n = a^{m+n}, αλλά και ότι i^2 = -1.

 

Διαίρεση φανταστικών αριθμών

Κατά τη διαίρεση φανταστικών κανόνων, χρησιμοποιούμε τον κανόνα των εκθετών \frac{a^m}{ a^n} = a^{m-n}. Στο αποτέλεσμα μετά τη διαίρεση συνήθως δεν κρατάμε το «i» στον παρονομαστή. Xρησιμοποιούμε τον κανόνα 1/i = -i (αυτό συμβαίνει επειδή \frac{1}{i} = \frac{1}{i} · \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{(-1)} = -i).