Ποιες είναι οι ιδιότητες μιγαδικών αριθμών;

Ποιες είναι οι ιδιότητες μιγαδικών αριθμών;

Οι ακόλουθες ιδιότητες μιγαδικών αριθμών είναι χρήσιμες για την καλύτερη κατανόηση των μιγαδικών αριθμών και επίσης για την εκτέλεση των διαφόρων αριθμητικών πράξεων με μιγαδικούς αριθμούς.

Συζυγής μιγαδικός αριθμός

Το συζυγές του μιγαδικού αριθμού σχηματίζεται παίρνοντας το ίδιο πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού και αλλάζοντας το φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού στο πρόσθετο αντίστροφό του. Αν το άθροισμα και το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε ονομάζονται συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.

Για έναν μιγαδικό αριθμό z = a + ib, το συζυγές του είναι \overline{z}= a – ib.

• Το άθροισμα του μιγαδικού αριθμού και του συζυγούς του είναι
  z+\overline{z} = ( a + ib) + (a – ib) = 2a,
• και το γινόμενο αυτών των μιγαδικών αριθμών
  z × \overline{z}= (a + ib) × (a – ib) = a^2 + b^2.

Αντίστροφος Μιγαδικού Αριθμού

Το αντίστροφο μιγαδικών αριθμών είναι χρήσιμο στη διαδικασία διαίρεσης ενός μιγαδικού αριθμού με έναν άλλο μιγαδικό αριθμό. Η διαδικασία διαίρεσης μιγαδικών αριθμών ισούται με το γινόμενο ενός μιγαδικού αριθμού με το αντίστροφο ενός άλλου μιγαδικού αριθμού. Το αντίστροφο του μιγαδικού αριθμού z = a + ib είναι
z^{-1}=\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{i(-b)}{a^2+b^2}
Αυτό δείχνει και αυτό
z≠z^{-1}

 

 

Ισότητα μιγαδικών αριθμών

Η ισότητα των μιγαδικών αριθμών είναι παρόμοια με την ισότητα των πραγματικών αριθμών. Δύο μιγαδικοί αριθμοί
z_1=a_1+ib_1 και z_2=a_2+ib_2
λέγονται ίσα αν το πραγματικο μέρος και των δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο a_1=a_2, και τα φανταστικά μέρη και των δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσα b_1=b_2.