Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσότερων θετικών ακεραίων είναι ο μεγαλύτερος θετικός αριθμός που διαιρεί καθέναν από αυτούς τους αριθμούς ακριβώς, δηλαδή χωρίς υπόλοιπο. Ο ΜΚΔ ενός συνόλου αριθμών είναι, επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας αυτών των αριθμών.
Ιδιότητες του ΜΚΔ
- Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσότερων αριθμών διαιρεί καθέναν από τους αριθμούς ακριβώς, χωρίς υπόλοιπο.
- Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) είναι παράγοντας καθενός από τους αριθμούς.
- Ο ΜΚΔ είναι πάντοτε μικρότερος ή ίσος με τους αριθμούς του συνόλου.
- Ο ΜΚΔ δύο ή περισσότερων πρώτων αριθμών είναι πάντοτε 1, αφού οι πρώτοι αριθμοί έχουν μόνο τον εαυτό τους και το 1 ως κοινούς παράγοντες.
Τρόποι Υπολογισμού του ΜΚΔ
Υπάρχουν τρεις βασικές μέθοδοι για τον υπολογισμό του ΜΚΔ δύο αριθμών:
- Με καταγραφή των κοινών παραγόντων
- Με ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
- Υπολογισμός με τον Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Ας δούμε παρακάτω μερικά παραδείγματα για να κατανοήσουμε τις μεθόδους.
Παραδείγματα Υπολογισμού του ΜΚΔ
Παράδειγμα 1: Υπολογισμός με καταγραφή των κοινών παραγόντων
Έστω οι αριθμοί 30 και 42.
- Οι παράγοντες του 30 είναι οι: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
- Οι παράγοντες του 42 είναι οι: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας είναι το 6. Άρα, ο ΜΚΔ(30, 42) είναι 6.
Παράδειγμα 2: Υπολογισμός με ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Έστω οι αριθμοί 60 και 90.
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5
- 90 = 2 × 3 × 3 × 5
Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες είναι οι 2, 3, και 5.
Το γινόμενό τους είναι 2 × 3 × 5 = 30.
Άρα, ο ΜΚΔ(60, 90) είναι 30.
Παράδειγμα 3: Υπολογισμός με τον Αλγόριθμο του Ευκλείδη
Υπολογισμός του ΜΚΔ των αριθμών 252 και 105.
- Πρώτη διαίρεση:
252 ÷ 105 = 2 με υπόλοιπο 42.
Άρα, 252=105×2+42.
Αντικατάσταση: Τώρα υπολογίζουμε τον ΜΚΔ του 105 και του 42.
- Δεύτερη διαίρεση:
105÷42=2 με υπόλοιπο 21.
Άρα, 105=42×2+21.
Αντικατάσταση: Συνεχίζουμε με τον ΜΚΔ του 42 και του 21.
- Τρίτη διαίρεση:
42÷21=2 με υπόλοιπο 0.
Άρα, 42=21×2+0.
Από τη στιγμή που το υπόλοιπο έγινε 0, σταματάμε. Ο τελευταίος μη μηδενικός διαιρέτης είναι το 21, και επομένως ο ΜΚΔ(252, 105) είναι 21.
Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να βρίσκουμε εύκολα τον ΜΚΔ δύο αριθμών, χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία που ταιριάζει καλύτερα στους αριθμούς που έχουμε.
Αφήστε μια απάντηση