Τι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί;
Ένας μιγαδικός αριθμός είναι το άθροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού αριθμού. Ένας μιγαδικός αριθμός είναι της μορφής
και συνήθως παριστάνεται με z. Εδώ και το α και το β είναι πραγματικοί αριθμοί. Η τιμή ‘a’ ονομάζεται το πραγματικό μέρος που συμβολίζεται με Re(z), και το ‘b’ ονομάζεται φανταστικό μέρος Im(z). Επίσης, το ib ονομάζεται φανταστικός αριθμός.
2+3i, −2−5i, \frac{1}{2}+i\frac{3}{2}
Δύναμη του i
Στο αλφάβητο i αναφέρεται ως “γιώτα” και είναι χρήσιμο για την αναπαράσταση του φανταστικού μέρους του μιγαδικού αριθμού. Επιπλέον, το iota(i) είναι πολύ χρήσιμο για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας των αρνητικών αριθμών. Έχει την ιδιότητα να ισχυεί οτι
, και αυτή χρησιμοποιείται για παράδειγμα για να βρούμε την τιμή του \sqrt{-4} = \sqrt{i^24} = +2i. Η τιμή του i2 = -1 είναι η θεμελιώδης όψη ενός μιγαδικού αριθμού. Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε περισσότερα για τις αυξανόμενες δυνάμεις του i.
| Δυνάμεις του i |
|---|
| i =\sqrt{-1} |
| i^2 = -1 |
| i^3 = i\cdot i^2 = i(-1) = -i |
| i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 |
| i^{4n} = 1 |
| i^{4n + 1} = i |
| i^{4n + 2} = -1 |
| i^{4n + 3} = -i |
Γραφική παράσταση μιγαδικών αριθμών
Ο μιγαδικός αριθμός αποτελείται από ένα πραγματικό μέρος και ένα φανταστικό μέρος, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως διατεταγμένο ζεύγος (Re(z), Im(z)) και μπορεί να αναπαρασταθεί ως σημεία συντεταγμένων στο ευκλείδειο επίπεδο. Το ευκλείδειο επίπεδο με αναφορά σε μιγαδικούς αριθμούς ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο. Ο μιγαδικός αριθμός z = a + ib παριστάνεται με το πραγματικό μέρος – a, με αναφορά στον άξονα x, και το φανταστικό μέρος -ib, με αναφορά στον άξονα y. Παρακάτων ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε τους δύο σημαντικούς όρους που σχετίζονται με την αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο.
Μέτρο μιγαδικού αριθμού
Η απόσταση του μιγαδικού αριθμού που παριστάνεται ως σημείο στο επίπεδο (a, ib) ονομάζεται μέτρο του μιγαδικού αριθμού. Αυτή η απόσταση είναι μια γραμμική απόσταση από την αρχή των αξόνων (0, 0) έως το σημείο (a, ib) και ορίζεται ως
Επιπλέον, από αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό ότι προέρχεται από το θεώρημα του Πυθαγόρα, όπου το μέτρο αντιπροσωπεύει την υποτείνουσα, το πραγματικό μέρος είναι η βάση και το φανταστικό μέρος είναι το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου.
Όρισμα μιγαδικού αριθμού
Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία που ενώνει τη γεωμετρική αναπαράσταση του μιγαδικού αριθμού και της αρχής, με τον θετικό άξονα x, κατά την αριστερόστροφη φορά ονομάζεται όρισμα του μιγαδικού αριθμού και συμβολίζεται με Arg(z) . Το όρισμα του μιγαδικού αριθμού είναι το αντίστροφο της εφαπτομένης του φανταστικού μέρους διαιρούμενο με το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού.
Πολική αναπαράσταση ενός μιγαδικού αριθμού
Με το μέτρο και το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού και την αναπαράσταση του μιγαδικού αριθμού στο επίπεδο, έχουμε μια νέα μορφή αναπαράστασης του μιγαδικού αριθμού, που ονομάζεται πολική μορφή μιγαδικού αριθμού. Ο μιγαδικός αριθμός z = a + ib, μπορεί να αναπαρασταθεί σε πολική μορφή ως
όπου r είναι ο συντελεστής (r = \sqrt{a^2 + b^2}), και θ είναι το όρισμα του μιγαδικού αριθμού(θ = εφ^{-1}\frac{b}{a}).
Συμβουλές για τους μιγαδικούς αριθμούς:
- Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι μιγαδικοί αριθμοί, αλλά όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι απαραίτητα πραγματικοί αριθμοί.
- Όλοι οι φανταστικοί αριθμοί είναι μιγαδικοί αριθμοί, αλλά όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι απαραίτητα φανταστικοί αριθμοί.
- Το συζυγές μιγαδικού αριθμού z=a+ib είναι z=a-ib
- Το μέγεθος ενός μιγαδικού αριθμού z=a+ib είναι \vert z \vert = \sqrt{a^2 + b^2}
Leave a Reply