Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί

Τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί;

Κάθε αριθμός που μπορούμε να σκεφτούμε, εκτός από μιγαδικούς αριθμούς, είναι πραγματικός αριθμός. Για παράδειγμα, τα 3, 0, 1,5, 3/2, √5 και ούτω καθεξής είναι πραγματικοί αριθμοί.

Ορισμός Πραγματικών Αριθμών

Οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν ρητούς αριθμούς όπως θετικούς και αρνητικούς ακέραιους αριθμούς, κλάσματα και άρρητους αριθμούς.

Τώρα, ποιοι αριθμοί δεν είναι πραγματικοί αριθμοί; Οι αριθμοί που δεν είναι ούτε ρητοί ούτε άρρητοι είναι μη πραγματικοί αριθμοί, όπως √-1, 2 + 3i και -i.

Τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί;

Κάθε αριθμός που μπορούμε να σκεφτούμε, εκτός από μιγαδικούς αριθμούς, είναι πραγματικός αριθμός. Για παράδειγμα, τα 3, 0, 1,5, 3/2, √5 και ούτω καθεξής είναι πραγματικοί αριθμοί.

Σύνολο πραγματικών αριθμών – Σύμβολο πραγματικών αριθμών

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, που συμβολίζεται με R, είναι η ένωση του συνόλου των ρητών αριθμών (Q) και του συνόλου των άρρητων αριθμών.

Αυτό δείχνει ότι οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν τους:

• φυσικούς αριθμούς: Όλοι οι θετικοί αριθμοί μέτρησης και το μηδέν αποτελούν το σύνολο των φυσικών αριθμών, N = {0, 1, 2, 3, …}
• ακέραιους αριθμούς: Όλοι οι θετικοί αριθμοί , οι αρνητικοί αριθμοί και το μηδέν αποτελούν το σύνολο των ακεραίων. Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• ρητούς αριθμούς: Οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή κλάσματος p/q, όπου το «p» και το «q» είναι ακέραιοι και το «q» δεν είναι ίσο με μηδέν, είναι ρητοί αριθμοί. Q = {-3, 0, -6, 5/6, 3,23}
• άρρητους αριθμού: Οι αριθμοί που είναι τετραγωνικές ρίζες θετικών ρητών αριθμών, οι κυβικές ρίζες των ρητών αριθμών κ.λπ., όπως √2, ανήκουν στο σύνολο των άρρητων αριθμών. R-Q = {√2, -√6}

Παρατηρήστε τον παρακάτω πίνακα για να το καταλάβετε καλύτερα τα σύνολα αριθμών που βρίσκονται κάτω από πραγματικούς αριθμούς.

Διάγραμμα πραγματικών αριθμών

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το γράφημα πραγματικών αριθμών που εξηγεί τη σχέση μεταξύ όλων των αριθμών που αναφέρονται παραπάνω.

Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών

Οι πιο σημαντικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών αναφέρονται παρακάτω.

• Ιδιότητα κλειστότητας: Η ιδιότητα κλειστότητας δηλώνει ότι το άθροισμα και το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι πάντα ένας πραγματικός αριθμός.

• Προσεταιριστική ιδιότητα: Το άθροισμα ή το γινόμενο οποιωνδήποτε τριών πραγματικών αριθμών παραμένει το ίδιο ακόμη και όταν αλλάξει η ομαδοποίηση των αριθμών.

• Αντιμεταθετική ιδιότητα: Το άθροισμα και το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών παραμένουν ίδια ακόμα και μετά την εναλλαγή της σειράς των αριθμών.

• Επιμεριστική ιδιότητα: Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού έναντι της πρόσθεσης είναι:

Ο άξονας των πραγματικών αριθμών

1. Σχεδιάζεται μία γραμμή.
2. Επιλέγεται ένα σημείο στη γραμμή ως «αρχή», δηλαδή το σημείο μηδέν.
3. Τα σημεία προς τα δεξιά είναι θετικά και τα σημεία προς τα αριστερά είναι αρνητικά.

Πραγματικοί αριθμοί παραδείγματα

Σημαντικά!

• Κάθε άρρητος αριθμός είναι πραγματικός αριθμός.
• Κάθε ρητός αριθμός είναι πραγματικός αριθμός.
• Όλοι οι αριθμοί εκτός από τους μιγαδικούς αριθμούς είναι πραγματικοί αριθμοί.
• Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί είναι πραγματικοί αριθμοί.