Πως κάνω πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς;

Πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς

Οι διάφορες πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης φυσικών αριθμών μπορούν επίσης να εκτελεστούν και για μιγαδικούς αριθμούς. Οι λεπτομέρειες για τις διάφορες αριθμητικές πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς είναι οι εξής.

Πρόσθεση μιγαδικών αριθμών

Η πρόσθεση μιγαδικών αριθμών είναι παρόμοια με την πρόσθεση φυσικών αριθμών. Εδώ σε μιγαδικούς αριθμούς, το πραγματικό μέρος προστίθεται στο πραγματικό μέρος και το φανταστικό μέρος προστίθεται στο φανταστικό μέρος.

Για δύο μιγαδικούς αριθμούς της φόρμας
$z_1=a+ib$ και $z_2=c+id$ , το άθροισμα των μιγαδικών αριθμών

z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)

πράξεις με μιγαδικούς

Οι μιγαδικοί αριθμοί ακολουθούν όλες τις ακόλουθες ιδιότητες της πρόσθεσης.

Κλειστότητα: Το άθροισμα δύο μιγαδικών αριθμών είναι επίσης μιγαδικός αριθμός. Για δύο μιγαδικούς αριθμούς $z_1$ και $z_2$ , το άθροισμα του $z_1+z_2$
είναι επίσης μιγαδικός αριθμός.
Αντιμεταθετικότητα: Για δύο μιγαδικούς αριθμούς $z_1$ και $z_2$ έχουμε $z_1+z_2=z_2+z_1$
Προσεταιριστικότητα: Για τους δοσμένους τρεις μιγαδικούς αριθμούς $z_1$ , $z_2$ και $z_3$ έχουμε $z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3$
Προσθετική Ταυτότητα: Για έναν μιγαδικό αριθμό $z = a + ib$ , υπάρχει $0 = 0 + i0$ , έτσι ώστε $z + 0 = 0 + z = 0$ .
Προσθετικό Αντίστροφο: Για τον μιγαδικό αριθμό $z = a + ib$ , υπάρχει ένας μιγαδικός αριθμός $-z = -a -ib$ έτσι ώστε $z + (-z) = (-z) + z = 0$ . Εδώ -z είναι το πρόσθετο αντίστροφο .

Αφαίρεση μιγαδικών αριθμών

Η αφαίρεση μιγαδικών αριθμών ακολουθεί παρόμοια διαδικασία αφαίρεσης φυσικών αριθμών. Εδώ για οποιουσδήποτε δύο μιγαδικούς αριθμούς, η αφαίρεση εκτελείται χωριστά σε όλο το πραγματικό μέρος και στη συνέχεια η αφαίρεση εκτελείται σε όλο το φανταστικό μέρος. Για τους μιγαδικούς αριθμούς
$z_1= a + ib, z_2= c + id$ , έχουμε

z_1 - z_2= (a - c) + i(b - d)

Πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών

Ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών είναι ελαφρώς διαφορετικός από τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών. Εδώ πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του $i^2=-1$
. Για τους δύο μιγαδικούς αριθμούς $z_1= a + ib, z_2= c + id$ , το γινόμενο είναι

z_1\cdot z_2= (ca – bd) + i(ad + bc).

Ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών στη πολική μορφή είναι ελαφρώς διαφορετικός από την προαναφερθείσα μορφή πολλαπλασιασμού. Εδώ οι απόλυτες τιμές των δύο μιγαδικών αριθμών πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματά τους προστίθενται για να ληφθεί το γινόμενο των μιγαδικών αριθμών. Για τους μιγαδικούς αριθμούς
$z_1=r_1(Cosθ_1+iSinθ_1)$ και $z_2=r_2(Cosθ_2+iSinθ_2)$
, το γινόμενο των μιγαδικών αριθμών είναι

z_1 \cdot z_2=r_1 \cdot r_2(Cos(θ_1+θ_2)+iSin(θ_1+θ_2)).

Διαίρεση μιγαδικών αριθμών

Η διαίρεση μιγαδικών αριθμών κάνει χρήση του τύπου του αντίστροφου μιγαδικού αριθμού. Για τους δύο μιγαδικούς αριθμούς
$z_1= a + ib, z_2= c + id$ , έχουμε τη διαίρεση ως

\frac{z_1}{z_2}= (a + ib) × \frac{1}{(c+id)} = (a + ib) × \frac{(c-id)}{c^2+d^2)}