Η ρητοποίηση αποτελεί μία μαθηματική διαδικασία που χρησιμοποιείται για να εξαλειφθεί ένας ριζικός ή φανταστικός αριθμός από τον παρανομαστή ενός κλάσματος. Στόχος είναι να γίνει ο παρανομαστής ένας ρητός αριθμός, διευκολύνοντας τη χρήση και την κατανόηση της μαθηματικής έκφρασης. Σε αυτό το άρθρο, θα δούμε βασικές έννοιες, παραδείγματα και βήματα για τη ρητοποίηση παρανομαστή και ρητοποίηση κλάσματος.
Βασικές Έννοιες
Ριζικό
Ένας ριζικό είναι μία μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει μία ρίζα, όπως τετραγωνική ρίζα ή κυβική ρίζα.
Για παράδειγμα, η έκφραση \sqrt{a+b} είναι ένας ριζικός.
Υπόριζο
Το υπόριζο είναι το μέρος που βρίσκεται κάτω από τη ρίζα.
Για παράδειγμα, στην έκφραση \sqrt{a+b} , το a+b είναι το υπόριζο.
Σύμβολο Ρίζας
Το σύμβολο \sqrt{} δηλώνει τη “ρίζα του”. Το μήκος της οριζόντιας γραμμής προσδιορίζει τις μεταβλητές ή τις σταθερές που ανήκουν στη ρίζα. Αν κάποιος αριθμός είναι έξω από αυτή τη γραμμή δεν ανήκει στην ρίζα.
Βαθμός Ρίζας
Ο βαθμός μίας ρίζας υποδηλώνεται με έναν αριθμό, π.χ. 2 για τετραγωνική ρίζα και 3 για κυβική ρίζα. Αν ο βαθμός δεν αναφέρεται, θεωρείται τετραγωνική ρίζα εξ ορισμού.
Συζυγής
Η συζυγής ενός αθροίσματος ή γινομένου είναι μία νέα έκφραση όπου αντιστρέφεται το πρόσημο μεταξύ των όρων.
Για παράδειγμα, η συζυγής του a + \sqrt{b} είναι a – \sqrt{b} .
Ρητοποίηση Παρανομαστή με Μονομελή Ριζικό
Αν ο παρανομαστής ενός κλάσματος περιέχει ένα μονομελή ριζικό, όπως \dfrac{a}{\sqrt{b}} , ακολουθούμε τα εξής βήματα:
Παράδειγμα: Ρητοποίηση του \dfrac{2}{\sqrt{7}}
Βήμα 1: Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με το \sqrt{7} :
\dfrac{2}{\sqrt{7}} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}Βήμα 2: Απλοποιούμε την έκφραση:
\dfrac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \dfrac{2 \sqrt{7}}{7}Η ριζική έκφραση έχει πλέον ρητό παρανομαστή.
Ρητοποίηση Παρανομαστή με Διωνυμικό Ριζικό
Όταν ο παρανομαστής περιέχει διωνυμικό ριζικό, όπως a + \sqrt{b} , χρησιμοποιούμε τη συζυγή του παρανομαστή για τη ρητοποίηση.
Παράδειγμα: Ρητοποίηση του \dfrac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}
Βήμα 1: Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με το συζυγή του παρανομαστή:
\dfrac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}} \cdot \dfrac{2-\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}Βήμα 2: Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα διαφοράς τετραγώνων:
(2-\sqrt{7}) = 2^2 – (\sqrt{7})^2 = 4 – 7 = -3
Βήμα 3: Απλοποιούμε την έκφραση:
\dfrac{\sqrt{7}(2-\sqrt{7})}{-3} = \dfrac{-2\sqrt{7} + 7}{3}Ρητοποίηση Κυβικών Ριζών
Η διαδικασία γενικεύεται και σε ρίζες μεγαλύτερης τάξης, όπως κυβικές ρίζες.
Παράδειγμα: Ρητοποίηση του \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}}
Βήμα 1: Πολλαπλασιάζουμε με το κατάλληλο ριζικό για να επιτύχουμε ακέραιο εκθέτη:
\dfrac{1}{\sqrt[3]{5}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}Βήμα 2: Απλοποιούμε την έκφραση:
\dfrac{\sqrt[3]{25}}{5}
Γενικές Οδηγίες
- Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με το κατάλληλο ριζικό.
- Εξαλείφουμε τις ρίζες στον παρανομαστή.
- Απλοποιούμε την έκφραση.
Η ρητοποίηση είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο για τη διευκόλυνση πολύπλοκων μαθηματικών υπολογισμών, βελτιώνοντας τη σαφήνεια και την ακρίβεια.
Αφήστε μια απάντηση