Τι είναι οι τετράγωνοι αριθμοί;

Οι τετράγωνοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με τον εαυτό του.

Για παράδειγμα, όταν πολλαπλασιάζουμε $5 \times 5 = 5^2$ , παίρνουμε τον αριθμό 25, ο οποίος είναι ένας τετράγωνος αριθμός.

Οι τετράγωνοι αριθμοί είναι πάντα θετικοί, καθώς όταν ένας αρνητικός αριθμός πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, το αποτέλεσμα είναι θετικό.

Για παράδειγμα:
$(-7)^2 = -7 \times -7 = 49$ .

Στη γεωμετρία, το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά $n$ (όπου $n$ είναι ακέραιος) είναι το χαρακτηριστικό παράδειγμα ενός τετράγωνου αριθμού, καθώς υπολογίζεται από τον τύπο:

$\text{Εμβαδόν} = \text{Πλευρά} \times \text{Πλευρά} = \text{Πλευρά}^2$ .

Τετράγωνοι Αριθμοί Μέχρι το 20

Οι τετράγωνοι αριθμοί μέχρι το 20 είναι: 1, 4, 9 και 16.

$1^2 = 1 \times 1 = 1$
$2^2 = 2 \times 2 = 4$
$3^2 = 3 \times 3 = 9$
$4^2 = 4 \times 4 = 16$

Τετράγωνοι Αριθμοί Μέχρι το 50

Οι τετράγωνοι αριθμοί μέχρι το 50 είναι: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.

$5^2 = 5 \times 5 = 25$
$6^2 = 6 \times 6 = 36$
$7^2 = 7 \times 7 = 49$

Τετράγωνοι Αριθμοί Μέχρι το 100

Οι τετράγωνοι αριθμοί μέχρι το 100 είναι: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

$8^2 = 8 \times 8 = 64$
$9^2 = 9 \times 9 = 81$
$10^2 = 10 \times 10 = 100$

Ιδιότητες των Τετράγωνων Αριθμών

Ψηφία Λήξης: Οι τετράγωνοι αριθμοί τελειώνουν πάντα στα ψηφία 0, 1, 4, 5, 6 ή 9.
Ζυγοί και Μονοί Αριθμοί: Το τετράγωνο ενός ζυγού αριθμού είναι ζυγός, ενώ το τετράγωνο ενός μονού αριθμού είναι μονός.
Αριθμός Μηδενικών: Ένας τετράγωνος αριθμός έχει πάντα ζυγό αριθμό μηδενικών στο τέλος του.
Θετικό Αποτέλεσμα: Οι τετράγωνοι αριθμοί είναι πάντα θετικοί, καθώς το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι θετικό.
Ακέραιες Τετραγωνικές Ρίζες: Η τετραγωνική ρίζα ενός τετράγωνου αριθμού είναι πάντα ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα:
$\sqrt{81} = 9$ .

Υπολογισμός του Αθροίσματος Τετράγωνων Αριθμών

Το άθροισμα των πρώτων $n$ τετράγωνων αριθμών δίνεται από τον τύπο:

\Sigma n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων 6 τετράγωνων αριθμών είναι:
$1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$ .

Εφαρμόζοντας τον τύπο:
$\dfrac{6(6+1)(2 \cdot 6 + 1)}{6} = \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 91$ .

Δύο Ψηφίων και Τριών Ψηφίων Τετράγωνοι Αριθμοί

Δύο ψηφίων: $16, 25, 36, 49, 64, 81$ .
Τριών ψηφίων: $100, 121, 144, \dots, 961$ (συνολικά 22 αριθμοί).

Οι τετράγωνοι αριθμοί είναι θεμελιώδεις στα μαθηματικά και βρίσκουν εφαρμογές σε ποικίλους τομείς όπως η γεωμετρία, η θεωρία αριθμών και η καθημερινή ζωή.