Τι είναι οι τέλειοι αριθμοί;
Ένας τέλειος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος που ισούται με το άθροισμα των παραγόντων του εκτός από τον ίδιο τον αριθμό. Με άλλα λόγια, τέλειοι αριθμοί είναι οι θετικοί ακέραιοι που είναι το άθροισμα των διαιρετών τους. Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6, που είναι το άθροισμα των παραγόντων του: 1, 2 και 3. Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτό το άθροισμα δεν περιλαμβάνει τον ίδιο τον αριθμό που είναι επίσης παράγοντας του εαυτού του.
Γνωρίζετε ότι όταν το άθροισμα όλων των διαιρετών ενός αριθμού είναι ίσο με το διπλάσιο του αριθμού, ο αριθμός έχει ξεχωριστό όνομα; Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται πλήρεις αριθμοί. Στην πραγματικότητα, όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι και πλήρεις αριθμοί.
Ιστορία των Τέλειων Αριθμών
Δεν υπάρχουν πολλές πληροφορίες σχετικά με την ανακάλυψη τέλειων αριθμών. Λέγεται ότι ίσως οι Αιγύπτιοι να τα ανακάλυψαν. Παρά το γεγονός ότι γνώριζαν την ύπαρξη τέλειων αριθμών, ήταν μόνο οι Έλληνες που ήταν πρόθυμοι να μελετήσουν περισσότερο αυτούς τους αριθμούς. Οι τέλειοι αριθμοί μελετήθηκαν από τον Πυθαγόρα και τους οπαδούς του για τις μυστικιστικές τους ιδιότητες. Ο μικρότερος τέλειος αριθμός που βρέθηκε ήταν το 6. Αυτός ο αριθμός 6 συγκέντρωσε μεγάλη προσοχή στην αρχή από τους Πυθαγόρειους, περισσότερο για τις μυστικιστικές και αριθμητικές του ιδιότητες παρά για οποιαδήποτε μαθηματική σημασία. Πρέπει να σημειωθεί ότι το 6 είναι ο μικρότερος τέλειος αριθμός, ο επόμενος είναι το 28.
Πώς να βρείτε έναν τέλειο αριθμό;
Για να βρούμε έναν τέλειο αριθμό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική του Ευκλείδη. Σύμφωνα με τον Ευκλείδη, υπάρχει μια έκφραση που μπορεί να είναι ένας τέλειος αριθμός που υπόκειται σε μια συγκεκριμένη συνθήκη. Σύμφωνα με την πρότασή του, αν το 2^n -1 είναι πρώτος αριθμός, τότε το 2^{n-1}(2^n-1) είναι τέλειος αριθμός. Αυτή η συνθήκη μπορεί να γίνει κατανοητή χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα. Ο Ευκλείδης είπε ότι το (2^n – 1) πολλαπλασιασμένο με 2^{n – 1}, μπορεί να είναι τέλειος αριθμός αν ο όρος στην αγκύλη, δηλαδή, (2^n – 1) είναι πρώτος αριθμός.
Με άλλα λόγια, [2^{n – 1} × (2^n – 1) = τέλειος αριθμός], εάν (2^n – 1) είναι πρώτος αριθμός.
Επομένως, πρέπει να βρούμε μια τιμή του ‘n’ για την οποία το (2n – 1) είναι πρώτος. Έτσι, ο παρακάτω πίνακας θα μας βοηθήσει να το καταλάβουμε καλύτερα. Ας ακολουθήσουμε τα βήματα που δίνονται παρακάτω για να μπορέσουμε να συνδεθούμε με τον πίνακα και να κατανοήσουμε τη διαδικασία.
| n | 2n – 1 | (2n – 1) | 2n – 1 × (2n – 1) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | – |
| 2 | 2 | 3 (πρώτος αριθμός) | 6 (τέλειος αριθμός) |
| 3 | 4 | 7 (πρώτος αριθμός) | 28 (τέλειος αριθμός) |
| 4 | 8 | 15 | – |
| 5 | 16 | 31 (πρώτος αριθμός) | 496 (τέλειος αριθμός) |
| 6 | 32 | 63 | – |
Τέλειοι αριθμοί σε έναν πίνακα
Μερικοί τέλειοι αριθμοί 6, 28, 496 και 8128 είναι γνωστοί σε εμάς από την αρχαιότητα. Ας δούμε τους διαιρέτες τους και το άθροισμά τους μέσα από τον παρακάτω πίνακα. Το άθροισμά τους καταλήγει στον ίδιο τον αριθμό. Επομένως, αυτοί είναι γνωστοί ως τέλειοι αριθμοί.
| Τέλειος αριθμός | Άθροισμα Διαιρέτων |
|---|---|
| 6 | 1 + 2 + 3 |
| 28 | 1 + 2 + 4 + 7 + 14 |
| 496 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 |
| 8128 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 |
Σημαντικά συμπεράσματα
- Τέλειοι αριθμοί είναι οι θετικοί ακέραιοι που είναι το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών τους.
- Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6.
- Όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι ζυγοί αριθμοί. Είναι ακόμα άγνωστο αν υπάρχουν ή όχι περίεργοι τέλειοι αριθμοί.
- Όλοι οι τέλειοι αριθμοί τελειώνουν σε 6 και 8 εναλλακτικά.
Leave a Reply