Τι είναι η εικασία του Γκολντμπαχ;
Έίναι ένα από τα πιο δύσκολα και αναπάντητα ερωτήματα που υπάρχουν στα μαθηματικά:
Μπορεί κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών;
Πρώτος είναι ένας ακέραιος αριθμός που διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του.
Ας προσπαθήσουμε με μερικά παραδείγματα:
- 4 = 2 + 2 και το 2 είναι πρώτος, οπότε η απάντηση στην ερώτηση είναι “ναι” για τον αριθμό 4.
- 6 = 3 + 3 και το 3 είναι πρώτο, άρα είναι “ναι” και για το 6.
- 8 = 3 + 5, το 5 είναι επίσης πρώτος, άρα είναι άλλο ένα “ναι”.
Αν συνεχίσετε να προσπαθείτε, θα διαπιστώσετε ότι φαίνεται ότι κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί πράγματι να γραφτεί ως το άθροισμα δύο πρώτων. Αυτό είναι επίσης το συμπέρασμα στο οποίο έφτασε ο Πρώσος ερασιτέχνης μαθηματικός και ιστορικός Christian Goldbach το 1742. Έγραψε για την ιδέα του στον διάσημο μαθηματικό Leonhard Euler, ο οποίος στην αρχή αντιμετώπισε την επιστολή με κάποια περιφρόνηση, θεωρώντας το αποτέλεσμα ως ασήμαντο. Αυτό δεν ήταν πολύ σοφό του Euler: η εικασία Goldbach, όπως έχει γίνει γνωστή, παραμένει αναπόδεικτη μέχρι σήμερα.
Το 1938 ο Nils Pipping έδειξε ότι η εικασία Goldbach ισχύει για ζυγούς αριθμούς έως και 100.000. Το πιο πρόσφατο αποτέλεσμα, που δημιουργήθηκε χρησιμοποιώντας μια αναζήτηση υπολογιστή, δείχνει ότι ισχύει για ζυγούς αριθμούς έως και 4.000.000.000.000.000.000 — αυτός είναι ένας τεράστιος αριθμός, αλλά για τους μαθηματικούς δεν είναι αρκετά καλός. Μόνο μια γενική απόδειξη θα κάνει.
Υπάρχει όμως ένα παρόμοιο ερώτημα που έχει αποδειχθεί. Η ασθενής εικασία του Γκολντμπαχ λέει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 5 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τριών πρώτων. Και πάλι μπορούμε να δούμε ότι αυτό ισχύει για τους πρώτους περιττούς αριθμούς μεγαλύτερους από το 5:
- 7 = 3 + 2 + 2
- 11 = 3 + 3 + 5
- 13 = 3 + 5 + 5
- 17 = 5 + 5 + 7
Μέχρι πολύ πρόσφατα, το αποτέλεσμα είχε επαληθευτεί μόνο για περιττούς αριθμούς μεγαλύτερους από 2 x 101346 — αυτός είναι ένας αριθμός με 1.347 ψηφία! Στη συνέχεια, όμως, το 2013, ο Περουβιανός μαθηματικός Χάραλντ Χέλφγκοτ έκλεισε το τεράστιο χάσμα και απέδειξε ότι το αποτέλεσμα ισχύει για όλους τους περιττούς αριθμούς μεγαλύτερους του 5.
Οι αδύναμες και ισχυρές εικασίες του Goldbach είναι μόνο δύο από τις πολλές ερωτήσεις της θεωρίας αριθμών που είναι εύκολο να δηλωθούν αλλά πολύ δύσκολο να λυθούν.
Leave a Reply