Το εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου είναι ο συνολικός χώρος ή η περιοχή που καλύπτεται από τις πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου σε δισδιάστατο χώρο. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ορίζεται ως τρίγωνο που έχει δύο ίσες πλευρές, κάτι που συνεπάγεται και δύο ίσες γωνίες. Ακολουθούν ορισμένες ιδιότητες που διακρίνουν το ισοσκελές τρίγωνο:
- Οι δύο ίσες πλευρές λέγονται σκέλη και η γωνία μεταξύ τους ονομάζεται κορυφή.
- Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή λέγεται βάση, και οι προσκείμενες γωνίες στην βάση είναι ίσες.
- Η κάθετη από την κορυφή στη βάση διχοτομεί τη βάση και επίσης διχοτομεί την κορυφή.
Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου εκφράζεται σε τετραγωνικές μονάδες. Ακολουθούν οι διάφοροι τρόποι υπολογισμού του εμβαδού με βάση τα γνωστά στοιχεία του ισοσκελούς τριγώνου.
Γενικός Τύπος Εμβαδού με Ύψος
Ο βασικός τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς τριγώνου με βάση και ύψος είναι:
Όπου:
- b είναι η βάση του ισοσκελούς τριγώνου.
- h είναι το ύψος του τριγώνου.
Παράδειγμα 1:
Βάση b = 8 , \text{cm} ,
Ύψος h = 5 , \text{cm} .
Τύπος:
Ε = \dfrac{1}{2} \times b \times h
Υπολογισμός:
Ε = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 , \text{cm}^2
Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 20 , \text{cm}^2 .
Παράδειγμα 2:
Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει:
- Μήκος ίσων πλευρών a = 10 \text{cm} ,
- Βάση b = 12 \text{cm}
Υπολογίστε το εμβαδόν χρησιμοποιώντας συνδυασμό γεωμετρίας και Πυθαγορείου Θεωρήματος.
Λύση:
1. Υπολογισμός ύψους με το Πυθαγόρειο Θεώρημα
Η κάθετη από την κορυφή στη βάση διχοτομεί τη βάση σε δύο τμήματα:
ΒΔ = ΔΓ = \dfrac{b}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \text{cm} .
Χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το τρίγωνο \triangle ΑΒΔ :
a^2 = h^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2
Υπολογισμός:
10^2 = h^2 + 6^2
100 = h^2 + 36
h^2 = 64 \implies h = \sqrt{64} = 8 \text{cm} .
2. Υπολογισμός Εμβαδού με βάση και ύψος
Χρησιμοποιούμε τον τύπο:
Ε = \dfrac{1}{2} \times b \times h
Υπολογισμός:
Ε = \dfrac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{cm}^2 .
Εμβαδόν με χρήση των πλευρών
Εάν είναι γνωστά τα μήκη των ίσων πλευρών ( a ) και της βάσης ( b ), το ύψος μπορεί να υπολογιστεί και το εμβαδόν δίνεται από τον τύπο:
Παράδειγμα:
Μήκος ίσων πλευρών a = 5 \text{cm} ,
Βάση b = 6 \text{cm} .
Τύπος:
Ε = \dfrac{1}{2} \times b \times \sqrt{a^2 – \dfrac{b^2}{4}}
Υπολογισμός:
Ε = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{5^2 – \dfrac{6^2}{4}}
Ε = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{25 – 9}
Ε = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{16}
Ε = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \text{cm}^2
Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 12 , \text{cm}^2 .
Εμβαδόν με το Θεώρημα του Ήρωνα
Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου μπορεί επίσης να υπολογιστεί με τον τύπο του Ήρωνα, αν είναι γνωστά και τα τρία μήκη των πλευρών ( a , b ) με a τα δύο ίσα σκέλη και b η βάση:
Ο τύπος του Ήρωνα είναι:
Όπου:
- s είναι το ημιπερίμετρος:
s = \dfrac{a + a + b}{2} = a + \dfrac{b}{2}
Για το ισοσκελές τρίγωνο:
Παράδειγμα:
Μήκος ίσων πλευρών a = 7 , \text{cm} ,
Βάση b = 10 , \text{cm} .
Τύπος:
Ε = \sqrt{s \cdot (s-a)^2 \cdot (s-b)} ,
όπου s = a + \dfrac{b}{2} .
Υπολογισμός:
s = 7 + \dfrac{10}{2} = 7 + 5 = 12 , \text{cm}
Ε = \sqrt{12 \cdot (12 – 7)^2 \cdot (12 – 10)}
Ε = \sqrt{12 \cdot 5^2 \cdot 2}
Ε = \sqrt{12 \cdot 25 \cdot 2}
Ε = \sqrt{600} \approx 24.49 , \text{cm}^2
Το εμβαδόν του τριγώνου είναι περίπου 24.49 \text{cm}^2 .
Εμβαδόν με Τριγωνομετρία
1. Με χρήση δύο πλευρών και της γωνίας μεταξύ τους:
Όπου:
- b είναι η βάση.
- a είναι το μήκος των ίσων πλευρών.
- Α είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών.
Παράδειγμα:
Βάση b = 10 , \text{cm} ,
Μήκος ίσων πλευρών a = 8 , \text{cm} ,
Γωνία Α = 60^\circ .
Τύπος:
Ε = \dfrac{1}{2} \times b \times a \times \sin(\alpha)
Υπολογισμός:
Ε = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 8 \times \sin(60^\circ)
\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
Ε = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}
Ε = 20 \sqrt{3} \approx 34.64 , \text{cm}^2
Το εμβαδόν του τριγώνου είναι περίπου 34.64 \text{cm}^2 .
2. Με χρήση δύο γωνιών και της πλευράς μεταξύ τους:
Εμβαδόν Ισοσκελούς Ορθογωνίου Τριγώνου
Για ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, όπου οι δύο ίσες πλευρές ( a ) σχηματίζουν ορθή γωνία:
Παράδειγμα:
Ίσες κάθετες πλευρές a = 6 , \text{cm} .
Τύπος:
E = \dfrac{1}{2} \times a^2
Υπολογισμός:
E = \dfrac{1}{2} \times 6^2 = \dfrac{1}{2} \times 36 = 18 , \text{cm}^2
Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 18 , \text{cm}^2 .
Συμπέρασμα
Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί με διάφορους τρόπους, ανάλογα με τα γνωστά δεδομένα. Αυτή η ποικιλία τύπων καθιστά τον υπολογισμό εύκολο και προσαρμόσιμο σε διαφορετικές καταστάσεις.
Αφήστε μια απάντηση