Τι είναι οι εντός εναλλάξ γωνίες;
Όταν δύο παράλληλες ευθείες τεμνονται από μία άλλη ευθεία, το ζεύγος των γωνιών που σχηματίζεται στην εσωτερική πλευρά των παράλληλων ευθειών, αλλά στις απέναντι πλευρές της τεμνόμενης ευθείας ονομάζονται εντός εναλλάξ γωνίες.
Παρατηρήστε το παρακάτω σχήμα για να δείτε τις εντός εναλλάξ γωνίες.
Παραπάνω έχουμε δύο ευθείες ‘ε1’ και ‘ε2’ οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους που τεμνονται από της ευθεία ‘ε3’.
Οι γωνίες ‘α’ και ‘β’ που σχηματίζονται στα σημεία τομής των δύο παράλληλων ευθείων με την τεμνόμενη ευθεία είναι εντός εναλλάξ.
Θεώρημα εντός εναλλάξ γωνιών
Σύμφωνα με το θεώρημα των εντός εναλλάξ γωνιών, έχουμε ότι: « εάν έχουμε δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μία άλλη, οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους».
Όμως ισχυεί και το αντίστροφο του Θεωρήματος εντός εναλλάξ γωνιών.
Σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος , « εάν μία τεμνόμενη ευθεία τέμνει ευθείες έτσι ώστε οι εντός εναλλάξ γωνίες να είναι ίσες, τότε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες».
Ως το κατανοήσουμε το θεώρημα καλύτερα με τη βοήθεια ενός παραδείγματος.
Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε δύο παράλληλες ευθείες ‘ε1’ και ‘ε2’ και μία τεμνόμενη ‘ε3’. Σύμφωνα με την παρακάτω είκόνα, αν η γωνία γ=110º, πόσες μοίρες είναι η γωνία κ;
Λύση: Οι γωνίες γ και κ είναι εντός εναλλάξ. Άρα είναι και ίσες.
Οπότε, αν γ=110º τότε και κ=110º.
Πάμε να δούμε ένα πιο συνδυαστικό παράδειγμα.
Παράδειγμα: Συμφωνα με την παρακάτω εικόνα, βρείτε το x.
Λύση: Σύμφωνα με την εκφώνηση του παραδείγματος, δεν γνωρίζουμε αν οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των εντός εναλλάξ γωνιών και να βρούμε το x.
Όμως από την ευθεία ε4 μπορούμε να αποδέιξουμε ότι οι ε1 και ε2 είναι παράλληλες, καθώς σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος των εντος εκτός και επί τα αυτά γωνιών οι γωνίες στην περιοχή των τομών είναι ίσες αφού είναι ορθές.
Οπότε ε1 || ε2, και ε3 τεμνόμενη ευθεία .
Άρα η γωνία x=50º, ως εντός εναλλάξ.
Leave a Reply