Πως βρίσκω το μήκος τόξου κύκλου;

Τι είναι το μήκος τόξου;

Το μήκος τόξου ορίζεται  ως η απόσταση κατά μήκος ενός τμήματος της περιφέρειας κύκλου ή οποιασδήποτε καμπύλης. Η γωνία που υποτείνεται από ένα τόξο σε οποιοδήποτε σημείο είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των δύο ευθύγραμμων τμημάτων που ενώνουν το κέντρο με τα τελικά σημεία του τόξου.

Για παράδειγμα, στον κύκλο που φαίνεται παρακάτω, το ΑΒ είναι το τόξο του κύκλου με κέντρο Ο. Το μήκος τόξου του τόξου ΑΒ δίνεται ως L.

Τύπος μήκους τόξου σε μοίρες

Πριν δούμε τον τύπο του μήκους του τόξου, ας θυμηθούμε ποια είναι η περίμετρος ενός πλήρους κύκλου του οποίου η ακτίνα είναι ‘r’. Ο τυπος είναι:

Αλλά το τόξο είναι μόνο ένα μέρος (στην πραγματικότητα ένα κλάσμα) της συνολικής περιμέτρου. Γνωρίζουμε ότι η γωνία στο κέντρο σε έναν πλήρη κύκλο είναι 360°. Εάν θ° η γωνία που υποτείνεται από ένα τόξο, τότε σημαίνει ότι το τόξο καταλαμβάνει κλάσμα θ/360 από τη συνολική περίμετρο. Επομένως:

Αυτός είναι ο τύπος μήκους τόξου όταν η γωνία είναι σε μοίρες.

Επομένως,

όπου,

L = Μήκος τόξου
θ = Κεντρική γωνία τόξου
r = Ακτίνα του κύκλου

Τύπος μήκους τόξου σε ακτίνια

Το μήκος ενός τόξου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας όμως και σε ακτίνια (rad).

Αν το θ είναι σε ακτίνια, τότε η γωνία σε μοίρες = θ × \dfrac{180}{π}. Αντικαθιστώντας αυτό στον παραπάνω τύπο,

Επομένως,

όπου,

L = Μήκος τόξου
θ = Επίκεντρη γωνία τόξου
r = Ακτίνα του κύκλου

Έτσι, ο τύπος του τόξου ενός κύκλου είναι θ επί την ακτίνα ενός κύκλου, εάν η γωνία είναι σε ακτίνια.

 

Πώς να βρείτε το μήκος τόξου αν δεν ξέρετε την ακτίνα;

Το μήκος τόξου ενός κύκλου μπορεί να υπολογιστεί χωρίς την ακτίνα χρησιμοποιώντας:

Την επίκεντρη γωνία και τον κυκλικό τομέα:

• Ο τύπος του κυκλικού τομέα είναι,\dfrac{θ}{360º} × πr², εάν το θ είναι σε μοίρες ή \dfrac{1}{2} r²θ, εάν το θ είναι σε ακτίνια.
• Χρησιμοποιήστε αυτόν τον τύπο και λύστε ως προς την ακτίνα ‘r’. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την τετραγωνική ρίζα σε αυτή τη διαδικασία.
• Στη συνέχεια, βρείτε το μήκος του τόξου χρησιμοποιώντας τον σχετικό τύπο.

 

Την επίκεντρη γωνία και μήκος χορδής:

• Ο τύπος μήκους χορδής είναι, 2r sin (θ/2).
• Χρησιμοποιήστε αυτόν τον τύπο και λύστε ως προς την ακτίνα ‘r’.
• Στη συνέχεια, βρείτε το μήκος του τόξου χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τύπο.

 

Πώς να βρείτε το μήκος του τόξου χωρίς την επίκεντρη γωνία;

Το μήκος τόξου ενός κύκλου μπορεί να υπολογιστεί χωρίς τη επίκεντρη γωνία χρησιμοποιώντας:

Ακτίνα και κυκλικό τομέα:

• Αντικαταστήστε τις τιμές της ακτίνας και του κυκλικού τομέα στον τύπο του κυκλικού τομέα.
• Λύστε το ως προς την επίκεντρη γωνία.
• Βρείτε το μήκος του τόξου.

 

Ακτίνα και μήκος χορδής:

• Αντικαταστήστε τις τιμές ακτίνας και μήκους χορδής στον τύπο μήκους χορδής.
• Στη συνέχεια, λύστε ως προς την επίκεντρη γωνία.
• Υπολογίστε το μήκος του τόξου.