Ποια είναι η παράγουσα εφχ

Ποια είναι η παράγουσα εφχ ;

Η παράγουσα (ή αρχική συνάρτηση) της συνάρτησης εφ(x), δηλαδή της εφαπτομένης του x, μπορεί να βρεθεί μέσω ολοκλήρωσης. Αναζητούμε μια συνάρτηση F(x) τέτοια ώστε η παράγωγός της να είναι εφ(x).

Για να βρούμε την παράγουσα εφχ, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

\int φ(x) \, dx

 

Βήματα Υπολογισμού:

Γνωρίζουμε από την τριγωνομετρία ότι:

εφ(x) = \dfrac{ημ(x)}{συν(x)}

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητής. Θέτουμε:

u = συν(x), άρα du = -ημ(x) \, dx.

Εφαρμογή της μεθόδου:
Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα:

\int \dfrac{ημ(x)}{συν(x)} \, dx = -\int \dfrac{du}{u}

Το ολοκλήρωμα \int \dfrac{du}{u} είναι γνωστό και δίνει:

-\ln|u| + C

Επαναφέρουμε την αρχική μεταβλητή \(x\), οπότε έχουμε:

-\ln|συν(x)| + C

Τελικό αποτέλεσμα:
Η παράγουσα της εφ(x) είναι:

\int εφ(x) \, dx = -\ln|συν(x)| + C

όπου C είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα:

Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης εφ(2x).

 

1. Χρησιμοποιούμε την αλλαγή μεταβλητής:

\int εφ(2x) \, dx

Θέτουμε u = 2x, οπότε du = 2 dx, δηλαδή dx = \dfrac{du}{2}.

Το ολοκλήρωμα γίνεται:

\int εφ(2x) \, dx = \dfrac{1}{2} \int εφ(u) \, du

 

2. Χρησιμοποιούμε τον γνωστό τύπο για την παράγουσα της εφ(u):

\dfrac{1}{2} \int εφ(u) \, du = \dfrac{1}{2} \left(-\ln|συν(u)|\right) + C

 

3. Επαναφέρουμε την αρχική μεταβλητή u = 2x:

= -\dfrac{1}{2} \ln|συν(2x)| + C

Άρα, το αποτέλεσμα για την παράγουσα της εφ(2x) είναι:

\int \εφ(2x) \, dx = -\dfrac{1}{2} \ln|συν(2x)| + C.


Μοιράσου το άρθρο:


A side profile of a woman in a russet-colored turtleneck and white bag. She looks up with her eyes closed.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”

— Χριστίνα, Μαθηματικός

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *