Ποια είναι η παράγουσα εφχ ;
Η παράγουσα (ή αρχική συνάρτηση) της συνάρτησης εφ(x), δηλαδή της εφαπτομένης του x, μπορεί να βρεθεί μέσω ολοκλήρωσης. Αναζητούμε μια συνάρτηση F(x) τέτοια ώστε η παράγωγός της να είναι εφ(x).
Για να βρούμε την παράγουσα εφχ, ακολουθούμε τα εξής βήματα:
\int φ(x) \, dx
Βήματα Υπολογισμού:
Γνωρίζουμε από την τριγωνομετρία ότι:
εφ(x) = \dfrac{ημ(x)}{συν(x)}
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητής. Θέτουμε:
u = συν(x), άρα du = -ημ(x) \, dx.
Εφαρμογή της μεθόδου:
Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα:
\int \dfrac{ημ(x)}{συν(x)} \, dx = -\int \dfrac{du}{u}
Το ολοκλήρωμα \int \dfrac{du}{u} είναι γνωστό και δίνει:
-\ln|u| + C
Επαναφέρουμε την αρχική μεταβλητή \(x\), οπότε έχουμε:
-\ln|συν(x)| + C
Τελικό αποτέλεσμα:
Η παράγουσα της εφ(x) είναι:
\int εφ(x) \, dx = -\ln|συν(x)| + C
όπου C είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.
Παράδειγμα:
Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης εφ(2x).
1. Χρησιμοποιούμε την αλλαγή μεταβλητής:
\int εφ(2x) \, dxΘέτουμε u = 2x, οπότε du = 2 dx, δηλαδή dx = \dfrac{du}{2}.
Το ολοκλήρωμα γίνεται:
\int εφ(2x) \, dx = \dfrac{1}{2} \int εφ(u) \, du
2. Χρησιμοποιούμε τον γνωστό τύπο για την παράγουσα της εφ(u):
\dfrac{1}{2} \int εφ(u) \, du = \dfrac{1}{2} \left(-\ln|συν(u)|\right) + C
3. Επαναφέρουμε την αρχική μεταβλητή u = 2x:
= -\dfrac{1}{2} \ln|συν(2x)| + CΆρα, το αποτέλεσμα για την παράγουσα της εφ(2x) είναι:
\int \εφ(2x) \, dx = -\dfrac{1}{2} \ln|συν(2x)| + C.
Αφήστε μια απάντηση