Ποια είναι η παράγουσα ρίζα χ
Η παράγουσα (ή αρχική συνάρτηση) της συνάρτησης \sqrt{x}, δηλαδή της τετραγωνικής ρίζας του x, μπορεί να βρεθεί μέσω ολοκλήρωσης. Αναζητούμε μια συνάρτηση F(x) τέτοια ώστε η παράγωγός της να είναι \sqrt{x}.
Για να βρούμε την παράγουσα ρίζα χ, ακολουθούμε τα εξής βήματα:
\int \sqrt{x} \, dx
Βήματα Υπολογισμού:
Η ρίζα μπορεί να γραφεί με εκθέτη ως x^{1/2}, επομένως έχουμε:
\int x^{1/2} \, dx
Για να βρούμε το ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε τον βασικό κανόνα ολοκλήρωσης για δυνάμεις του x:
\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, για \(n \neq -1\).
Εφαρμογή του Κανόνα:
Για τη συνάρτηση \(\sqrt{x} = x^{1/2}\), έχουμε \(n = \dfrac{1}{2}\). Άρα:
\int x^{1/2} \, dx = \dfrac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} + C = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} + C
Απλοποιώντας:
= \dfrac{2}{3} x^{3/2} + C
Τελικό αποτέλεσμα:
Η παράγουσα της \sqrt{x} είναι:
\int \sqrt{x} \, dx = \dfrac{2}{3} x^{3/2} + C
όπου C είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.
Παράδειγμα:Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης \sqrt{2x}.
1. Χρησιμοποιούμε την αλλαγή μεταβλητής:
\int \sqrt{2x} \, dx
Θέτουμε y = 2x, οπότε dy = 2 dx, δηλαδή dx = \dfrac{dy}{2}.
Το ολοκλήρωμα γίνεται:
\int \sqrt{2x} \, dx = \int \sqrt{y} \cdot \dfrac{dy}{2} = \dfrac{1}{2} \int \sqrt{y} \, dy
2. Εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγουσα της \sqrt{y}:
\dfrac{1}{2} \int y^{1/2} \, dy = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} y^{3/2} + C = \dfrac{1}{3} y^{3/2} + C
3. Αντικαθιστούμε το y = 2x:
= \dfrac{1}{3} (2x)^{3/2} + C
= \dfrac{1}{3} \cdot 2^{3/2} \cdot x^{3/2} + C
Άρα, το αποτέλεσμα για το ολοκλήρωμα της \sqrt{2x} είναι:
\int \sqrt{2x} \, dx = \frac{2^{3/2}}{3} x^{3/2} + C.
Αφήστε μια απάντηση