Ποια είναι η παράγωγος lnx
Η παράγωγος ln x είναι ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα στον λογισμό. Συγκεκριμένα:
Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε x > 0 , η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου του x είναι ίση με \dfrac{1}{x} .
Γραφική Ερμηνεία
Για να κατανοήσουμε αυτή την παράγωγο γραφικά, μπορούμε να παρατηρήσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = \ln x . Ο ρυθμός μεταβολής (παράγωγος) της συνάρτησης σε ένα σημείο είναι η κλίση της εφαπτομένης γραμμής στο γράφημα εκείνου του σημείου.
– Στο σημείο x = 1 , η κλίση της εφαπτομένης είναι 1 .
– Στο σημείο x = 2 , η κλίση είναι \dfrac{1}{2} .
– Στο σημείο x = 3 , η κλίση είναι \dfrac{1}{3} .
Αυτή η παρατήρηση επιβεβαιώνει ότι η παράγωγος της συνάρτησης \ln x είναι πράγματι \dfrac{1}{x} .
Απόδειξη με την Πρώτη Αρχή
Ας αποδείξουμε ότι η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι \dfrac{1}{x} χρησιμοποιώντας την πρώτη αρχή (τον ορισμό της παραγώγου).
Απόδειξη: 1. Έστω f(x) = \ln x . Σύμφωνα με την πρώτη αρχή, η παράγωγος μιας συνάρτησης f(x) δίνεται από το όριο:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) – f(x)}{h}
2. Εδώ, έχουμε f(x + h) = \ln(x + h) . Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x + h) – \ln x}{h}
3. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των λογαρίθμων, \ln m – \ln n = \ln \left( \dfrac{m}{n} \right) , έχουμε:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln \left( \dfrac{x + h}{x} \right)}{h}
4. Αυτό ισοδυναμεί με:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln \left( 1 + \dfrac{h}{x} \right)}{h}
5. Θέτουμε t = \dfrac{h}{x} , άρα h = xt . Όταν h \to 0 , τότε t \to 0 . Αντικαθιστούμε:
f'(x) = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1 + t)}{xt}
6. Χωρίζουμε το όριο:
f'(x) = \dfrac{1}{x} \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1 + t)}{t}
7. Από γνωστές ιδιότητες, γνωρίζουμε ότι:
\lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1 + t)}{t} = 1
8. Άρα, έχουμε:
f'(x) = \dfrac{1}{x} \cdot 1 = \dfrac{1}{x}
Απόδειξη με Έμμεση Διαφοροποίηση
Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η παράγωγος της \ln x είναι \frac{1}{x} χρησιμοποιώντας την έμμεση διαφοροποίηση.
2. Παίρνουμε την παράγωγο και των δύο πλευρών ως προς x :
\dfrac{d}{dx} (e^y) = \dfrac{d}{dx} (x)
3. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας:
e^y \dfrac{dy}{dx} = 1
4. Λύνοντας για την \dfrac{dy}{dx} :
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{e^y}
5. Επειδή e^y = x , έχουμε:
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x}
Ν-οστή Παράγωγος της \ln x
Ας παρατηρήσουμε τις πρώτες παραγώγους της \ln x για να κατανοήσουμε την n-οστή παράγωγο:
Παράγωγος | Αποτέλεσμα |
---|---|
\dfrac{d}{dx} (\ln x) = | \dfrac{1}{x} |
\dfrac{d^2}{dx^2} (\ln x) = | \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x} \right) = -\dfrac{1}{x^2} |
\dfrac{d^3}{dx^3} (\ln x) = | \dfrac{d}{dx} \left( -\dfrac{1}{x^2} \right) = \dfrac{2}{x^3} |
\dfrac{d^4}{dx^4} (\ln x) =. | \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{2}{x^3} \right) = -\dfrac{6}{x^4} |
\dfrac{d^5}{dx^5} (\ln x) = . | \dfrac{d}{dx} \left( -\dfrac{6}{x^4} \right) = \dfrac{24}{x^5} |
Από εδώ παρατηρούμε ότι οι πρόσημοι εναλλάσσονται (+, -, +, -) και οι συντελεστές είναι παραγοντικοί. Έτσι, η n-οστή παράγωγος της \ln x είναι:
\dfrac{d^n}{dx^n} (\ln x) = \dfrac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n}
Αφήστε μια απάντηση