Θεώρημα του Bolzano
Το Θεώρημα του Bolzano (θεώρημα μπολζάνο) είναι ένα θεμελιώδες θεώρημα στη μαθηματική ανάλυση που αναφέρεται στην ύπαρξη ρίζας μιας συνεχούς συνάρτησης μέσα σε ένα κλειστό διάστημα. Το θεώρημα αυτό είναι στενά συνδεδεμένο με το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών και αποτελεί μία από τις βασικές αρχές για τον εντοπισμό ριζών σε συναρτήσεις.
Θεώρημα Bolzano ορισμός
Το θεώρημα του Bolzano μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:
“Έστω μια συνάρτηση f(x) που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, b] . Αν ισχύει f(a) \cdot f(b) <0 (δηλαδή, η συνάρτηση παίρνει διαφορετικά πρόσημα στα άκρα του διαστήματος a και b ), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο c \in (a, b) στο οποίο f(c) = 0 .”
Αυτό σημαίνει ότι αν μια συνεχής συνάρτηση έχει αντίθετα πρόσημα στις τιμές της στα άκρα ενός κλειστού διαστήματος, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα διασχίσει τον άξονα των x σε κάποιο σημείο μεταξύ a και b . Αυτή η τομή είναι ακριβώς το σημείο όπου η συνάρτηση μηδενίζεται, δηλαδή, στο οποίο f(c) = 0 . Δείτε το παρακάτω γράφημα:
Παράδειγμα
Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση f(x) = x^3 – x – 1 στο διάστημα [1, 2] και να δούμε αν υπάρχει σημείο c \in (1, 2) για το οποίο f(c) = 0 .
- Υπολογισμός f(1) :
f(1) = 1^3 – 1 – 1 = 1 – 1 – 1 = -1 - Υπολογισμός f(2) :
f(2) = 2^3 – 2 – 1 = 8 – 2 – 1 = 5
Εδώ, παρατηρούμε ότι f(1) = -1 και f(2) = 5 , δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος [1, 2] έχουν αντίθετα πρόσημα (αρνητικό και θετικό).
Σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano (θεωρημα μπολτζανο), αφού η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [1, 2] και f(1) \cdot f(2) < 0 , υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο c \in (1, 2) στο οποίο f(c) = 0 .
Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = x^3 – x – 1 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (1, 2) .
Αφήστε μια απάντηση