Ποιο είναι το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών
Το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών αναφέρει ότι αν μια συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα [a, b] , τότε για κάθε τιμή y που βρίσκεται ανάμεσα στις τιμές f(a) και f(b) , υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή x στο διάστημα (a, b) για την οποία f(x) = y . Δηλαδή, αν f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a, b] , τότε η συνάρτηση λαμβάνει όλες τις τιμές που βρίσκονται ανάμεσα στις f(a) και f(b) .
Μαθηματικά, το θεώρημα διατυπώνεται ως εξής:
Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών: “Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a, b] και L είναι ένας αριθμός που βρίσκεται μεταξύ των f(a) και f(b) , τότε υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή c με c \in (a, b) (ή a < c < b ) για την οποία ισχύει f(c) = L .”
Είναι αρκετά προφανές (λόγω της συνέχειας της συνάρτησης) πώς λειτουργεί το θεώρημα, κάτι που μπορούμε να κατανοήσουμε και από το παρακάτω διάγραμμα.
Εφαρμογή του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών
Μια σημαντική εφαρμογή του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών είναι η επιβεβαίωση ύπαρξης ρίζας μιας εξίσωσης σε ένα δεδομένο διάστημα. Συγκεκριμένα, το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών χρησιμοποιείται για να διαπιστωθεί αν μια δεδομένη συνάρτηση έχει μηδενικό σημείο ( f(x) = 0 ) μέσα στο διάστημα (a, b) .
Βήματα εφαρμογής:
- Βρίσκουμε f(a) και f(b) .
- Αν f(a) < 0 < f(b) (δηλαδή f(a) αρνητική και f(b) θετική), τότε η συνάρτηση f(x) έχει μηδενικό σημείο στο διάστημα (a, b) .
Παράδειγμα
Έστω ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το Θ.Ε.Τ. για να επαληθεύσουμε αν η συνάρτηση f(x) = x^3 – 3x – 19 έχει μια ρίζα στο διάστημα [1, 5] .
Λύση:
Το διάστημα είναι [1, 5] . Βρίσκουμε τις τιμές f(1) και f(5) :
- f(1) = 1^3 – 3(1) – 19 = -21
- f(5) = 5^3 – 3(5) – 19 = 91
Εφόσον f(1) είναι αρνητική και f(5) είναι θετική, μπορούμε να πούμε, βάσει του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών, ότι υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή c στο διάστημα (1, 5) για την οποία f(c) = 0 .
Περιορισμοί του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών
Στο παραπάνω παράδειγμα, το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών μας επιβεβαιώνει μόνο ότι η συνάρτηση f(x) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα [1, 5] . Δεν μας επιτρέπει να βρούμε την ακριβή τιμή της ρίζας ή να γνωρίζουμε πόσες ρίζες υπάρχουν στο διάστημα.
Αφήστε μια απάντηση