Ποιος είναι ο όγκος κώνου;

Ποιος είναι ο όγκος κώνου;

Ο όγκος κώνου ορίζεται ως η ποσότητα χώρου ή χωρητικότητας που καταλαμβάνει ένας κώνος. Ο όγκος του κώνου μετριέται σε κυβικές μονάδες όπως cm³, m³ κ.λπ. Ένας κώνος μπορεί να σχηματιστεί περιστρέφοντας ένα τρίγωνο γύρω από οποιαδήποτε από τις κορυφές του. Ο κώνος είναι μια συμπαγής τρισδιάστατη μορφή με κυκλική βάση. Έχει καμπυλωτή επιφάνεια. Η απόσταση από τη βάση μέχρι την κορυφή είναι το κάθετο ύψος. Ένας κώνος μπορεί να ταξινομηθεί ως δεξιός κυκλικός κώνος ή λοξός κώνος. Στον δεξιό κυκλικό κώνο, μια κορυφή βρίσκεται κατακόρυφα πάνω από το κέντρο της βάσης ενώ, σε έναν λοξό κώνο, η κορυφή του κώνου δεν είναι κατακόρυφα πάνω από το κέντρο της βάσης.

Ποιος είναι ο τύπος για τον όγκο κώνου;

Ο τύπος του δίνεται ως το ένα τρίτο του γινόμενου του εμβαδού της κυκλικής βάσης και του ύψους του κώνου. Σύμφωνα με τις γεωμετρικές και μαθηματικές έννοιες, ένας κώνος μπορεί να χαρακτηριστεί ως πυραμίδα με κυκλική διατομή. Μετρώντας το ύψος και την ακτίνα ενός κώνου, μπορείτε εύκολα να μάθετε τον όγκο ενός κώνου. Αν η ακτίνα της βάσης του κώνου είναι “r” και το ύψος του κώνου είναι “h”, ο όγκος του κώνου δίνεται ως:

Αν τώρα, αντί για την ακτίνα γνωρίζουμε την διάμετρο ως δεδομένο τότε ό τύπος του όγκου κώνου είναι διαφορετικός. Για τον υπολογισμό του όγκου ενός κώνου, λαμβάνοντας υπόψη το μέτρο του ύψους και της διαμέτρου της βάσης του είναι:

Αν τώρα, το ύψος του κώνου είναι κεκλιμενο, δηλαδή έχουμε ένα λοξό κώνο, πάλι ο τύπος είναι διαφορετικός.
Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πυθαγόρα στον κώνο, μπορούμε να βρούμε τη σχέση μεταξύ όγκου και κλίσης ύψους του κώνου.

Γνωρίζουμε, h² + r² = L²
⇒ h = √(L² – r²)
όπου,

h είναι το ύψος του κώνου,
r είναι η ακτίνα της βάσης και,
L είναι το ύψος κλίσης του κώνου.

Ο όγκος του κώνου ως προς το ύψος της κλίσης μπορεί να δοθεί ως:

Απόδειξη του τύπου του όγκου κώνου

Εδώ είναι μια δραστηριότητα που δείχνει πώς προκύπτει ο τύπος για τον όγκο ενός κώνου από τον όγκο ενός κυλίνδρου. Ας πάρουμε έναν κύλινδρο ύψους “h”, ακτίνας βάσης “r” και πάρουμε 3 κώνους ύψους “h”. Γεμίστε τους κώνους με νερό και αδειάστε έναν κώνο τη φορά. Δες την εικόνα παρακάτω.

Κάθε κώνος γεμίζει τον κύλινδρο στο ένα τρίτο της ποσότητας. Ως εκ τούτου, τέτοιοι τρεις κώνοι θα γεμίσουν τον κύλινδρο. Έτσι, ο όγκος ενός κώνου είναι το ένα τρίτο του όγκου του κυλίνδρου.

Πώς να βρείτε τον όγκο του κώνου;

Δεδομένων των απαιτούμενων παραμέτρων, ο όγκος ενός κώνου μπορεί να υπολογιστεί εφαρμόζοντας τον τύπο του όγκου του κώνου. Τα παρακάτω βήματα μπορούν να ακολουθηθούν όταν είναι γνωστά είτε η ακτίνα βάσης είτε η διάμετρος της βάσης, το ύψος και το ύψος κλίσης του κώνου.

• Βήμα 1: Σημειώστε τις γνωστές παραμέτρους, «r» ως ακτίνα της βάσης του κώνου, «d» ως διάμετρος, «L» ως κεκλιμένο ύψος και «h» ως ύψος.
• Βήμα 2: Εφαρμόστε τον τύπο για να βρείτε τον όγκο του κώνου,
  Όγκος κώνου με χρήση ακτίνας βάσης: V = (1/3) · π · r² · h ή V = (1/3) · π · r² · √(L² – r²)
  Όγκος κώνου χρησιμοποιώντας διάμετρο βάσης: V = (1/12) · π · d² · h ή V = (1/12) · π · d² · √(L² – r²)
• Βήμα 3: Εκφράστε το αποτέλεσμα σε κυβικές μονάδες.