Γρήγορες πληροφορίες
Ο Εύδοξος ήταν Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος που συνέβαλε στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Χαρτογράφησε τα αστέρια και συνέταξε έναν χάρτη του γνωστού κόσμου. Η φιλοσοφία του επηρέασε τον Αριστοτέλη.
Γεννήθηκε: 408 π.Χ – Κνίδος (στη χερσόνησο Resadiye), Μικρά Ασία (τώρα Κνίδος, Τουρκία)
Απεβίωσε: 355 π.Χ
Βιογραφία
Ο Εύδοξος ο Κνίδος ήταν γιος του Αισχίνη. Όσον αφορά τους δασκάλους του, γνωρίζουμε ότι ταξίδεψε στο Tarentum, τώρα στην Ιταλία, όπου μαθήτευσε με τον Αρχύτα που ήταν οπαδός του Πυθαγόρα. Το πρόβλημα της αντιγραφής του κύβου ήταν ένα που ενδιέφερε τον Αρχύτα και θα ήταν λογικό να υποθέσουμε ότι το ενδιαφέρον του Εύδοξου για αυτό το πρόβλημα υποκινήθηκε από τον δάσκαλό του. Άλλα θέματα που πιθανολογείται ότι έμαθε από τον Αρχύτα είναι η θεωρία αριθμών και η θεωρία της μουσικής.
Ο Εύδοξος επισκέφθηκε επίσης τη Σικελία, όπου σπούδασε ιατρική με τον Φίληστον, πριν κάνει την πρώτη του επίσκεψη στην Αθήνα με τη συντροφιά του ιατρού Θεομέδωνα. Ο Εύδοξος πέρασε δύο μήνες στην Αθήνα σε αυτή την επίσκεψη και σίγουρα παρακολούθησε διαλέξεις για τη φιλοσοφία του Πλάτωνα και άλλων φιλοσόφων στην Ακαδημία που είχε ιδρυθεί μόλις λίγο πριν. Ο Heath γράφει για τον Εύδοξο ως μαθητή στην Αθήνα:
Αφού έφυγε από την Αθήνα, πέρασε πάνω από ένα χρόνο στην Αίγυπτο όπου σπούδασε αστρονομία με τους ιερείς στην Ηλιούπολη. Εκείνη την εποχή ο Εύδοξος έκανε αστρονομικές παρατηρήσεις από ένα παρατηρητήριο που βρισκόταν μεταξύ Ηλιούπολης και Cercesura. Από την Αίγυπτο ο Εύδοξος ταξίδεψε στην Κύζικο στη βορειοδυτική Μικρά Ασία στη νότια όχθη της θάλασσας του Μαρμαρά. Εκεί ίδρυσε μια Σχολή που αποδείχθηκε πολύ δημοφιλής και είχε πολλούς οπαδούς.
Γύρω στο 368 π.Χ. ο Εύδοξος έκανε μια δεύτερη επίσκεψη στην Αθήνα συνοδευόμενος από αρκετούς οπαδούς του. Είναι δύσκολο να καταλάβουμε ποια ακριβώς ήταν η σχέση του με τον Πλάτωνα και την Ακαδημία αυτή τη στιγμή. Υπάρχουν κάποια στοιχεία που υποδηλώνουν ότι ο Εύδοξος σεβόταν ελάχιστα την αναλυτική ικανότητα του Πλάτωνα και είναι εύκολο να καταλάβει κανείς γιατί μπορεί να συμβαίνει αυτό, αφού ως μαθηματικός οι ικανότητές του ξεπερνούσαν κατά πολύ αυτές του Πλάτωνα. Υποστηρίζεται επίσης ότι ο Πλάτων δεν ήταν απόλυτα ευχαριστημένος βλέποντας πόσο επιτυχημένη είχε γίνει η Σχολή του Ευδόξου. Σίγουρα δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι οι δύο φιλόσοφοι είχαν μεγάλη επιρροή στις ιδέες του άλλου.
Ο Εύδοξος επέστρεψε στην πατρίδα του την Κνίδο και εκεί έγινε γνωστός από τους ανθρώπους που τον έβαλαν σε σημαντικό ρόλο στη νομοθετική εξουσία. Ωστόσο, συνέχισε το επιστημονικό του έργο, γράφοντας βιβλία και δίνοντας διαλέξεις για τη θεολογία, την αστρονομία και τη μετεωρολογία.
Είχε κατασκευάσει ένα παρατηρητήριο στην Κνίδο και ξέρουμε ότι από εκεί παρατήρησε το αστέρι Canopus. Οι παρατηρήσεις που έγιναν στο αστεροσκοπείο του στην Κνίδο, καθώς και εκείνες που έγιναν στο αστεροσκοπείο κοντά στην Ηλιούπολη, αποτέλεσαν τη βάση δύο βιβλίων στα οποία αναφέρεται ο Ίππαρχος. Αυτά τα έργα ήταν ο Καθρέφτης και τα Φαινόμενα που θεωρούνται από ορισμένους μελετητές ως αναθεωρήσεις του ίδιου έργου. Ο Ίππαρχος μας λέει ότι τα έργα αφορούσαν την άνοδο και τη δύση των αστερισμών αλλά δυστυχώς αυτά τα βιβλία, όπως όλα τα έργα του Εύδοξου, έχουν χαθεί.
Ο Εύδοξος συνέβαλε σημαντικά στη θεωρία της αναλογίας, όπου έκανε έναν ορισμό που επιτρέπει τη σύγκριση πιθανών παράλογων μηκών με παρόμοιο τρόπο με τη μέθοδο του σταυροειδούς πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιείται σήμερα. Μια σημαντική δυσκολία είχε προκύψει στα μαθηματικά την εποχή του Εύδοξου, δηλαδή το γεγονός ότι ορισμένα μήκη δεν ήταν συγκρίσιμα. Η μέθοδος σύγκρισης δύο μηκών x και y βρίσκοντας ένα μήκος έτσι ώστε x=m×t και y=n×t για ακέραιους αριθμούς m και το n απέτυχε να δουλέψει για γραμμές μήκους 1 και √2 όπως είχαν δείξει οι Πυθαγόρειοι.
Η θεωρία που ανέπτυξε ο Εύδοξος εκτίθεται στο Βιβλίο Στοιχεία του Ευκλείδη V. Ο ορισμός 4 σε αυτό το Βιβλίο ονομάζεται Αξίωμα του Εύδοξου και του αποδόθηκε από τον Αρχιμήδη. Ο ορισμός αναφέρει:
Τα μεγέθη λέγεται ότι έχουν έναν λόγο μεταξύ τους που είναι ικανός, όταν ένα πολλαπλάσιο του ενός μπορεί να υπερβαίνει το άλλο.
Με αυτό ο Εύδοξος εννοούσε ότι ένα μήκος και ένα εμβαδόν δεν έχουν ικανή αναλογία. Αλλά μια γραμμή μήκους √2 και μία γραμμή μήκους 1 έχουν έναν ικανό λόγο αφού 1 × √2 > 1 και 2 × 1 > √2. Ως εκ τούτου, το πρόβλημα των παράλογων μηκών λύθηκε με την έννοια ότι μπορούσε κανείς να συγκρίνει γραμμές οποιουδήποτε μήκους, είτε λογικού είτε παράλογου.
Ο Εύδοξος συνέχισε λέγοντας πότε δύο αναλογίες είναι ίσες. Αυτό εμφανίζεται ως Euclid’s Elements Book V Definition 5 που είναι, στη μετάφραση του Heath:
Τα μεγέθη λέγονται ότι έχουν την ίδια αναλογία, το πρώτο προς το δεύτερο και το τρίτο προς το τέταρτο, όταν, εάν υπάρχουν ισοπολλάσια ό,τι ληφθεί από το πρώτο και το τρίτο, και τυχόν ισοδύναμα ανεξάρτητα από το δεύτερο και το τέταρτο, τα πρώτα ισοπολλαπλάσια υπερβαίνουν όμοια, είναι όμοια ίσα με ή είναι όμοια μικρότερα από τα τελευταία ισοπολλάσια που λαμβάνονται με την αντίστοιχη σειρά.
Στη σύγχρονη σημειογραφία, αυτό λέει ότι τα a : b και c : d είναι ίσα (όπου τα a,b,c,d είναι πιθανώς παράλογα) εάν για κάθε πιθανό ζεύγος ακεραίων m,n
αν ma<nb τότε mc<nd,
αν ma=nb τότε mc=nd,
αν ma>nb τότε mc>nd.
Ο Huxley γράφει:
Ορισμένοι συγγραφείς έχουν συζητήσει τις ιδέες των πραγματικών αριθμών στο έργο του Εύδοξου και συνέκριναν τις ιδέες του με αυτές του Ντέντεκιντ, ιδιαίτερα τον ορισμό που περιελάμβανε τις «περικοπές του Ντέντεκιντ» που δόθηκε το 1872. Ο ίδιος ο Ντέντεκιντ τόνισε ότι το έργο του ήταν εμπνευσμένο από τις ιδέες του Εύδοξος. Ο Heath γράφει ότι ο ορισμός των ίσων αναλογιών του Εύδοξου:
Ωστόσο, ορισμένοι ιστορικοί έχουν μια μάλλον διαφορετική άποψη. Για παράδειγμα, το άρθρο (παραθέτοντας από την περίληψη του συγγραφέα):-
Μια άλλη αξιοσημείωτη συμβολή στα μαθηματικά από τον Εύδοξο ήταν η πρώιμη εργασία του για την ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξάντλησής του. Αυτή η εργασία αναπτύχθηκε απευθείας από την εργασία του σχετικά με τη θεωρία της αναλογίας, δεδομένου ότι ήταν πλέον σε θέση να συγκρίνει παράλογους αριθμούς. Βασίστηκε επίσης σε προηγούμενες ιδέες για την προσέγγιση του εμβαδού ενός κύκλου από τον Αντίφωνο όπου ο Αντίφωνος πήρε εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα με αυξανόμενο αριθμό πλευρών. Ο Εύδοξος μπόρεσε να μετατρέψει τη θεωρία του Αντιφώντα σε αυστηρή, εφαρμόζοντας τις μεθόδους του για να δώσει αυστηρές αποδείξεις των θεωρημάτων, που δηλώθηκαν για πρώτη φορά από τον Δημόκριτο, ότι ο όγκος μιας πυραμίδας είναι το ένα τρίτο του όγκου του πρίσματος που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος και ο όγκος ενός κώνου είναι το ένα τρίτο του όγκου του κυλίνδρου που έχει την ίδια βάση και ύψος.
Οι αποδείξεις αυτών των αποτελεσμάτων αποδίδονται στον Εύδοξο από τον Αρχιμήδη στο έργο του Περί της σφαίρας και του κυλίνδρου και φυσικά ο Αρχιμήδης συνέχισε να χρησιμοποιεί τη μέθοδο εξάντλησης του Εύδοξου για να αποδείξει μια αξιοσημείωτη συλλογή θεωρημάτων.
Γνωρίζουμε ότι ο Εύδοξος μελέτησε το κλασικό πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου. Ο Ερατοσθένης, που έγραψε μια ιστορία του προβλήματος, λέει ότι ο Εύδοξος έλυσε το πρόβλημα με καμπύλες γραμμές. Ο Ευτόκιος έγραψε για τη λύση του Εύδοξου αλλά φαίνεται ότι είχε μπροστά του ένα έγγραφο το οποίο, αν και ισχυριζόταν ότι έδινε τη λύση του Εύδοξου, πρέπει να γράφτηκε από κάποιον που δεν το είχε καταλάβει. Ο Paul Tannery προσπάθησε να ανακατασκευάσει την απόδειξη του Εύδοξου από πολύ λίγα στοιχεία, επομένως δεν πρέπει να παραμείνει παρά μια εικασία. Η έξυπνη πρόταση του Tannery ήταν ότι ο Εύδοξος είχε χρησιμοποιήσει την καμπύλη της καμπύλης στη διάλυσή του και, κατά συνέπεια, η καμπύλη είναι τώρα γνωστή ως η καμπύλη του Εύδοξου. Ο Heath, ωστόσο, αμφιβάλλει για τις προτάσεις του Tannery:
Κατά τη γνώμη μου, η αντίρρηση είναι ότι είναι πολύ στενή προσαρμογή των ιδεών του Αρχύτα… Ο Εύδοξος ήταν, νομίζω, πολύ πρωτότυπος μαθηματικός για να αρκεστεί σε μια απλή προσαρμογή της μεθόδου λύσης του Αρχύτα.
Πρέπει ακόμα να συζητήσουμε την πλανητική θεωρία του Εύδοξου, ίσως το έργο για το οποίο είναι πιο διάσημος, το οποίο δημοσίευσε στο βιβλίο Περί ταχυτήτων που έχει πλέον χαθεί. Ίσως το πρώτο σχόλιο που αξίζει να κάνουμε είναι ότι ο Εύδοξος επηρεάστηκε πολύ από τη φιλοσοφία των Πυθαγορείων μέσω του δασκάλου του Αρχύτα. Επομένως, δεν είναι περίεργο που ανέπτυξε ένα σύστημα βασισμένο σε σφαίρες ακολουθώντας την πεποίθηση του Πυθαγόρα ότι η σφαίρα ήταν το πιο τέλειο σχήμα. Το σύστημα ομοκεντρικών σφαιρών που πρότεινε ο Εύδοξος αποτελούνταν από έναν αριθμό περιστρεφόμενων σφαιρών, κάθε σφαίρα περιστρεφόμενη γύρω από έναν άξονα μέσω του κέντρου της Γης. Ο άξονας περιστροφής κάθε σφαίρας δεν ήταν σταθερός στο διάστημα, αλλά, για τις περισσότερες σφαίρες, αυτός ο άξονας περιστρεφόταν ο ίδιος καθώς καθοριζόταν από σημεία που ήταν στερεωμένα σε μια άλλη περιστρεφόμενη σφαίρα.
Εύδοξος
Όπως στο διάγραμμα απο κάτω, ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο σφαίρες S1 και S2, ο άξονας XY του S1 είναι μια διάμετρος της σφαίρας S2. Οπως και S2, περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα
ΑΒ και μετά ο άξονας XY του S1 περιστρέφεται μαζί του. Αν οι δύο σφαίρες περιστρέφονται με σταθερή, αλλά αντίθετη, γωνιακή ταχύτητα τότε ένα σημείο P στον ισημερινό του S1
περιγράφει ένα σχήμα οκτώ καμπύλης. Αυτή η καμπύλη ονομαζόταν ιπποπόδης (που σημαίνει δεσμός αλόγου).
Ο Εύδοξος χρησιμοποίησε αυτή την κατασκευή του ιπποπέδου με δύο σφαίρες και στη συνέχεια θεώρησε ως σημείο έναν πλανήτη
P που διασχίζει την καμπύλη. Εισήγαγε μια τρίτη σφαίρα που αντιστοιχεί στη γενική κίνηση του πλανήτη ενάντια στα αστέρια φόντου, ενώ η κίνηση γύρω από τον ιππόποδα παρήγαγε την παρατηρούμενη περιοδική ανάδρομη κίνηση. Το υποσύστημα των τριών σφαιρών τοποθετήθηκε σε μια τέταρτη σφαίρα που έδινε την καθημερινή περιστροφή των αστεριών.
Το πλανητικό σύστημα του Εύδοξου περιγράφεται από τον Αριστοτέλη στη Μεταφυσική και το πλήρες σύστημα περιέχει 27 σφαίρες. Ο Σιμπλίκιος, γράφοντας ένα σχόλιο για τον Αριστοτέλη περίπου το 540 μ.Χ., περιγράφει επίσης τις σφαίρες του Εύδοξου. Αντιπροσωπεύουν ένα θαυμάσιο γεωμετρικό επίτευγμα. Όπως γράφει ο Heath:
Δεν υπάρχει αμφιβολία για αυτό το απίστευτο μαθηματικό επίτευγμα. Υπάρχουν όμως πολλά ερωτήματα που πρέπει να θέσουμε στη συνέχεια. Πίστευε ο Εύδοξος ότι οι σφαίρες υπήρχαν στην πραγματικότητα; Τα εφηύρε ως γεωμετρικό μοντέλο που ήταν καθαρά υπολογιστική συσκευή; Το μοντέλο αντιπροσώπευε με ακρίβεια τον τρόπο με τον οποίο παρατηρείται ότι συμπεριφέρονται οι πλανήτες; Δοκίμασε ο Εύδοξος το μοντέλο του με παρατηρητικές αποδείξεις;
Ένα επιχείρημα υπέρ της σκέψης ότι ο Εύδοξος πίστευε στις σφαίρες μόνο ως υπολογιστική συσκευή είναι το γεγονός ότι φαίνεται να μην έκανε κανένα σχόλιο για την ουσία των σφαιρών ούτε για τον τρόπο διασύνδεσής τους. Κάποιος πρέπει να κάνει διάκριση μεταξύ των απόψεων του Εύδοξου και εκείνων του Αριστοτέλη γιατί όπως γράφει ο Huxley:
Ο Εύδοξος μπορεί να θεωρούσε το σύστημά του απλώς ως ένα αφηρημένο γεωμετρικό μοντέλο, αλλά ο Αριστοτέλης το θεώρησε ως περιγραφή του φυσικού κόσμου…
Το ερώτημα εάν ο Εύδοξος θεωρούσε τις σφαίρες του ως γεωμετρία ή φυσική πραγματικότητα μελετάται στην ενδιαφέρουσα εργασία που υποστηρίζει ότι ο Εύδοξος ενδιαφερόταν περισσότερο να αναπαραστήσει πραγματικά τα μονοπάτια των πλανητών παρά να προβλέψει αστρονομικά φαινόμενα.
Σίγουρα το μοντέλο δεν αντιπροσωπεύει, και ίσως το πιο σημαντικό δεν θα μπορούσε να αναπαραστήσει, τις πραγματικές διαδρομές των πλανητών με έναν βαθμό ακρίβειας που θα περνούσε ακόμη και τις πιο απλές δοκιμές παρατήρησης. Όσον αφορά το ερώτημα πόσο πολύ βασίστηκε ο Εύδοξος σε δεδομένα παρατήρησης για την επαλήθευση της υπόθεσής του, ο Neugebauer γράφει:
Ίσως είναι πολύ σύγχρονος τρόπος σκέψης να αναρωτιόμαστε πώς ο Εύδοξος θα μπορούσε να έχει αναπτύξει μια τόσο περίπλοκη θεωρία χωρίς να τη δοκιμάσει με δεδομένα παρατήρησης.
Πολλοί από τους πρώτους σχολιαστές πίστευαν ότι ο Πλάτων ήταν η έμπνευση για την αναπαράσταση της κίνησης των πλανητών από τον Εύδοξο με το σύστημα των ομοκεντρικών σφαιρών του. Αυτές οι απόψεις εξακολουθούν να είναι αρκετά ευρέως διαδεδομένες, αλλά το άρθρο υποστηρίζει πειστικά ότι αυτό δεν είναι έτσι και ότι οι ιδέες που επηρέασαν τον Εύδοξο να καταλήξει στο αριστούργημα της τρισδιάστατης γεωμετρίας του ήταν Πυθαγόρειες και όχι από τον Πλάτωνα.
Ως τελευταίο σχόλιο θα πρέπει να σημειώσουμε ότι ο Εύδοξος έγραψε επίσης ένα βιβλίο για τη γεωγραφία που ονομάζεται Περιήγηση στη Γη το οποίο, αν και χαμένο, είναι αρκετά γνωστό μέσα από περίπου 100 αποσπάσματα σε διάφορες πηγές. Το έργο αποτελούνταν από επτά βιβλία και μελετούσε τους λαούς της Γης που ήταν γνωστοί στον Εύδοξο, εξετάζοντας ιδιαίτερα τα πολιτικά τους συστήματα, την ιστορία και το υπόβαθρό τους. Ο Εύδοξος έγραψε για την Αίγυπτο και τη θρησκεία αυτής της χώρας με ιδιαίτερη εξουσία και είναι σαφές ότι έμαθε πολλά για τη χώρα αυτή τη χρονιά που πέρασε εκεί. Στο έβδομο βιβλίο ο Εύδοξος έγραψε εκτενώς για την Πυθαγόρεια Εταιρεία στην Ιταλία και πάλι για την οποία ήταν σαφώς εξαιρετικά γνώστης.
Leave a Reply