Ποιος ήταν ο Ευκλείδης;

Γρήγορες πληροφορίες

Ο Ευκλείδης ήταν Έλληνας μαθηματικός περισσότερο γνωστός για την πραγματεία του για τη γεωμετρία: Τα στοιχεία. Αυτό επηρέασε την ανάπτυξη των δυτικών μαθηματικών για περισσότερα από 2000 χρόνια.

Γεννήθηκε: περίπου το 325 π.Χ Αλεξάνδρεια, Αίγυπτος
Πέθανε: περίπου το 265 π.Χ Αλεξάνδρεια, Αίγυπτος

Βιογραφία

Ο Ευκλείδης της Αλεξάνδρειας είναι ο πιο εξέχων μαθηματικός της αρχαιότητας περισσότερο γνωστός για την πραγματεία του στα μαθηματικά Τα Στοιχεία. Η μακροχρόνια φύση των The Elements πρέπει να κάνει τον Ευκλείδη τον κορυφαίο δάσκαλο μαθηματικών όλων των εποχών. Ωστόσο λίγα είναι γνωστά για τη ζωή του Ευκλείδη εκτός από το ότι δίδαξε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Ο Πρόκλος, ο τελευταίος μεγάλος Έλληνας φιλόσοφος, που έζησε γύρω στο 450 μ.Χ. έγραψε:

Υπάρχουν και άλλες πληροφορίες για τον Ευκλείδη που δίνονται από ορισμένους συγγραφείς, αλλά δεν πιστεύεται ότι είναι αξιόπιστες. Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τύποι αυτών των επιπλέον πληροφοριών. Ο πρώτος τύπος επιπλέον πληροφοριών είναι αυτή που δίνουν Άραβες συγγραφείς που αναφέρουν ότι ο Ευκλείδης ήταν γιος του Ναυκράτη και ότι γεννήθηκε στην Τύρο. Πιστεύεται από τους ιστορικούς των μαθηματικών ότι αυτό είναι εντελώς πλασματικό και απλώς επινοήθηκε από τους συγγραφείς.

Η δεύτερη πληροφορία είναι ότι ο Ευκλείδης γεννήθηκε στα Μέγαρα. Αυτό οφείλεται σε σφάλμα εκ μέρους των συγγραφέων που έδωσαν πρώτοι αυτές τις πληροφορίες. Στην πραγματικότητα υπήρχε ένας Ευκλείδης από τα Μέγαρα, ο οποίος ήταν ένας φιλόσοφος που έζησε περίπου 100 χρόνια πριν από τον μαθηματικό Ευκλείδη της Αλεξάνδρειας. Δεν είναι καθόλου τυχαίο που μπορεί να φαίνεται ότι υπήρχαν δύο λόγιοι που ονομάζονταν Ευκλείδης. Στην πραγματικότητα, ο Ευκλείδης ήταν ένα πολύ κοινό όνομα γύρω από αυτήν την περίοδο και αυτό είναι μια επιπλέον επιπλοκή που καθιστά δύσκολη την ανακάλυψη πληροφοριών σχετικά με τον Ευκλείδη της Αλεξάνδρειας, καθώς υπάρχουν αναφορές σε πολλούς άνδρες που ονομάζονται Ευκλείδης στη βιβλιογραφία αυτής της περιόδου.

Επιστρέφοντας στο απόσπασμα από τον Πρόκλο που δόθηκε παραπάνω, το πρώτο σημείο που πρέπει να τονίσουμε είναι ότι δεν υπάρχει τίποτα ασυνεπές στη χρονολόγηση που δίνεται. Ωστόσο, αν και δεν γνωρίζουμε με βεβαιότητα σε ποια ακριβώς αναφορά στον Ευκλείδη αναφέρεται στο έργο του Αρχιμήδη ο Πρόκλος, σε ό,τι έχει φτάσει σε εμάς υπάρχει μόνο μία αναφορά στον Ευκλείδη και αυτό συμβαίνει στο Περί της σφαίρας και του κυλίνδρου. Το προφανές συμπέρασμα, επομένως, είναι ότι όλα πάνε καλά με το επιχείρημα του Πρόκλου και αυτό εικαζόταν μέχρι να αμφισβητηθεί από τον Hjelmslev. Υποστήριξε ότι η αναφορά στον Ευκλείδη προστέθηκε στο βιβλίο του Αρχιμήδη σε μεταγενέστερο στάδιο, και πράγματι είναι μια μάλλον εκπληκτική αναφορά. Δεν ήταν η παράδοση της εποχής να δίνονται τέτοιες αναφορές, επιπλέον υπάρχουν πολλά άλλα μέρη στον Αρχιμήδη όπου θα ήταν σκόπιμο να αναφερθούμε στον Ευκλείδη και δεν υπάρχει τέτοια αναφορά. Παρά τους ισχυρισμούς του Hjelmslev ότι το απόσπασμα έχει προστεθεί αργότερα, ο Bulmer-Thomas γράφει:

Για περαιτέρω συζήτηση σχετικά με τη χρονολόγηση του Ευκλείδη. Αυτό απέχει πολύ από το να τελειώσει τα επιχειρήματα για τον Ευκλείδη τον μαθηματικό. Η κατάσταση συνοψίζεται καλύτερα από τον Itard που δίνει τρεις πιθανές υποθέσεις.
(i) Ο Ευκλείδης ήταν ένας ιστορικός χαρακτήρας που έγραψε τα Στοιχεία και τα άλλα έργα που του αποδίδονται.

(ii) Ο Ευκλείδης ήταν ο αρχηγός μιας ομάδας μαθηματικών που εργάζονταν στην Αλεξάνδρεια. Όλοι συνέβαλαν στη συγγραφή των «ολοκληρωμένων έργων του Ευκλείδη», συνεχίζοντας μάλιστα να γράφουν βιβλία με το όνομα του Ευκλείδη μετά τον θάνατό του.

(iii) Ο Ευκλείδης δεν ήταν ιστορικός χαρακτήρας. Τα «πλήρη έργα του Ευκλείδη» γράφτηκαν από μια ομάδα μαθηματικών στην Αλεξάνδρεια που πήρε το όνομα Ευκλείδης από τον ιστορικό χαρακτήρα Ευκλείδη από τα Μέγαρα που είχε ζήσει περίπου 100 χρόνια νωρίτερα.
Αξίζει να σημειωθεί ότι ο Itard, ο οποίος δέχεται τους ισχυρισμούς του Hjelmslev ότι το απόσπασμα για τον Ευκλείδη προστέθηκε στον Αρχιμήδη, ευνοεί τη δεύτερη από τις τρεις πιθανότητες που παραθέσαμε παραπάνω. Θα πρέπει, ωστόσο, να κάνουμε μερικά σχόλια για τις τρεις πιθανότητες που, είναι δίκαιο να πούμε, συνοψίζουν αρκετά καλά όλες τις πιθανές τρέχουσες θεωρίες.

Υπάρχουν κάποιες ισχυρές αποδείξεις για αποδοχή (i). Ήταν αποδεκτό χωρίς αμφιβολία από όλους για περισσότερα από 2000 χρόνια και υπάρχουν ελάχιστα στοιχεία που δεν συνάδουν με αυτήν την υπόθεση. Είναι αλήθεια ότι υπάρχουν διαφορές στο ύφος μεταξύ ορισμένων από τα βιβλία των Στοιχείων, ωστόσο πολλοί συγγραφείς διαφοροποιούν το στυλ τους. Και πάλι το γεγονός ότι ο Ευκλείδης βάσισε αναμφίβολα τα Στοιχεία σε προηγούμενα έργα σημαίνει ότι θα ήταν μάλλον αξιοσημείωτο αν δεν έμενε κανένα ίχνος από το ύφος του αρχικού συγγραφέα.

Ακόμα κι αν δεχθούμε το (i) τότε δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ο Ευκλείδης δημιούργησε μια δυναμική σχολή μαθηματικών στην Αλεξάνδρεια. Ως εκ τούτου, θα είχε μερικούς ικανούς μαθητές που μπορεί να είχαν βοηθήσει στη συγγραφή των βιβλίων. Ωστόσο, η υπόθεση (ii) προχωρά πολύ περισσότερο από αυτό και θα υποδηλώνει ότι διαφορετικά βιβλία γράφτηκαν από διαφορετικούς μαθηματικούς. Εκτός από τις διαφορές στο στυλ που αναφέρθηκαν παραπάνω, υπάρχουν λίγες άμεσες αποδείξεις γι’ αυτό.

Μολονότι εκ πρώτης όψεως (iii) μπορεί να φαίνεται η πιο φανταστική από τις τρεις προτάσεις, εντούτοις το παράδειγμα του Μπουρμπάκη του 20ου αιώνα δείχνει ότι είναι κάθε άλλο παρά ακατόρθωτο. Ο Henri Cartan, ο André Weil, ο Jean Dieudonné, ο Claude Chevalley και ο Alexander Grothendieck έγραψαν συλλογικά με το όνομα Bourbaki και τα Στοιχεία μαθηματικών του Bourbaki περιέχουν περισσότερους από 30 τόμους. Φυσικά αν το (iii) ήταν η σωστή υπόθεση, τότε ο Απολλώνιος, ο οποίος σπούδασε με τους μαθητές του Ευκλείδη στην Αλεξάνδρεια, θα πρέπει να γνώριζε ότι δεν υπήρχε πρόσωπο «Ευκλείδης» παρά μόνο το γεγονός ότι έγραψε:

σίγουρα δεν αποδεικνύει ότι ο Ευκλείδης ήταν ιστορικός χαρακτήρας, αφού υπάρχουν πολλές παρόμοιες αναφορές στο Μπουρμπάκι από μαθηματικούς που γνώριζαν πολύ καλά ότι ο Μπουρμπάκι ήταν πλασματικός. Ωστόσο, οι μαθηματικοί που αποτελούσαν την ομάδα Μπουρμπάκη είναι όλοι γνωστοί από μόνοι τους και αυτό μπορεί να είναι το μεγαλύτερο επιχείρημα κατά της υπόθεσης (iii) στο ότι η «ομάδα του Ευκλείδη» θα έπρεπε να αποτελείται από εξαιρετικούς μαθηματικούς. Ποιοι ήταν λοιπόν;

Θα υποθέσουμε σε αυτό το άρθρο ότι η υπόθεση (i) είναι αληθινή, αλλά, μη έχοντας γνώση του Ευκλείδη, πρέπει να επικεντρωθούμε στα έργα του αφού κάνουμε μερικά σχόλια για πιθανά ιστορικά γεγονότα. Ο Ευκλείδης πρέπει να σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα για να μάθει τη γεωμετρία του Εύδοξου και του Θεαίτητου, την οποία γνώριζε τόσο πολύ.

Κανένα από τα έργα του Ευκλείδη δεν έχει πρόλογο, τουλάχιστον κανένα δεν έχει έρθει σε εμάς, επομένως είναι πολύ απίθανο να υπήρξε ποτέ, επομένως δεν μπορούμε να δούμε κανέναν χαρακτήρα του, όπως μπορούμε και ορισμένων άλλων Ελλήνων μαθηματικών, από τη φύση των προλόγων τους. . Ο Πάππος γράφει ότι ο Ευκλείδης ήταν:

Κάποιοι ισχυρίζονται ότι αυτές οι λέξεις έχουν προστεθεί στον Πάππο, και σίγουρα το νόημα του αποσπάσματος (σε μια συνέχεια που δεν παραθέσαμε) είναι να μιλήσουμε σκληρά (και σχεδόν σίγουρα άδικα) για τον Απολλώνιο. Η εικόνα του Ευκλείδη που σχεδίασε ο Πάππος είναι, ωστόσο, σίγουρα σύμφωνη με τα στοιχεία από τα μαθηματικά του κείμενα. Μια άλλη ιστορία που είπε ο Stobaeus είναι η εξής:

Το πιο διάσημο έργο του Ευκλείδη είναι η πραγματεία του για τα μαθηματικά Τα Στοιχεία. Το βιβλίο ήταν μια συλλογή γνώσεων που έγινε το κέντρο της μαθηματικής διδασκαλίας για 2000 χρόνια. Πιθανώς κανένα αποτέλεσμα στο The Elements δεν αποδείχθηκε αρχικά από τον Ευκλείδη, αλλά η οργάνωση του υλικού και η έκθεσή του οφείλονται σίγουρα σε αυτόν. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άφθονες ενδείξεις ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί προηγούμενα εγχειρίδια καθώς γράφει τα Στοιχεία, αφού εισάγει αρκετούς ορισμούς που δεν χρησιμοποιούνται ποτέ, όπως αυτός του επιμήκους, του ρόμβου και του ρομβοειδούς.

Τα Στοιχεία ξεκινούν με ορισμούς και πέντε αξιώματα. Τα τρία πρώτα αξιώματα είναι αξιώματα κατασκευής, για παράδειγμα το πρώτο αξίωμα δηλώνει ότι είναι δυνατό να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων. Αυτά τα αξιώματα υποθέτουν επίσης σιωπηρά την ύπαρξη σημείων, γραμμών και κύκλων και στη συνέχεια η ύπαρξη άλλων γεωμετρικών αντικειμένων συνάγεται από το γεγονός ότι αυτά υπάρχουν. Υπάρχουν άλλες υποθέσεις στα αξιώματα που δεν είναι ρητές. Για παράδειγμα, υποτίθεται ότι υπάρχει μια μοναδική γραμμή που ενώνει οποιαδήποτε δύο σημεία. Παρόμοια αξιώματα δύο και τρία, σχετικά με την παραγωγή ευθειών γραμμών και τη χάραξη κύκλων, αντίστοιχα, υποθέτουν τη μοναδικότητα των αντικειμένων, η δυνατότητα κατασκευής των οποίων υποτίθεται.

Το τέταρτο και το πέμπτο αξίωμα είναι διαφορετικής φύσης. Το αξίωμα τέσσερα δηλώνει ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες. Αυτό μπορεί να φαίνεται “προφανές”, αλλά στην πραγματικότητα υποθέτει ότι ο χώρος είναι ομοιογενής – με αυτό εννοούμε ότι μια φιγούρα θα είναι ανεξάρτητη από τη θέση στον χώρο στον οποίο βρίσκεται. Το διάσημο πέμπτο, ή παράλληλο, αξίωμα δηλώνει ότι μία και μόνο ευθεία μπορεί να συρθεί μέσα από ένα σημείο παράλληλο σε μια δεδομένη ευθεία. Η απόφαση του Ευκλείδη να το κάνει αυτό αξίωμα οδήγησε στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Μόλις τον 19ο αιώνα αυτό το αξίωμα απορρίφθηκε και μελετήθηκαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες.

Υπάρχουν επίσης αξιώματα που ο Ευκλείδης ονομάζει «κοινές έννοιες». Αυτές δεν είναι συγκεκριμένες γεωμετρικές ιδιότητες αλλά μάλλον γενικές παραδοχές που επιτρέπουν στα μαθηματικά να εξελιχθούν ως επαγωγική επιστήμη. Για παράδειγμα:

Ο Ζήνων της Σιδώνας, περίπου 250 χρόνια αφότου ο Ευκλείδης έγραψε τα Στοιχεία, φαίνεται ότι ήταν ο πρώτος που έδειξε ότι οι προτάσεις του Ευκλείδη δεν συνάγονταν μόνο από τα αξιώματα και τα αξιώματα, και ο Ευκλείδης κάνει άλλες λεπτές υποθέσεις.

Τα Στοιχεία χωρίζονται σε 13 βιβλία. Τα βιβλία ένα έως έξι ασχολούνται με την επίπεδη γεωμετρία. Συγκεκριμένα, τα βιβλία ένα και δύο παρουσιάζουν τις βασικές ιδιότητες των τριγώνων, των παραλλήλων, των παραλληλογραμμών, των ορθογωνίων και των τετραγώνων. Το τρίτο βιβλίο μελετά τις ιδιότητες του κύκλου ενώ το βιβλίο τέταρτο ασχολείται με προβλήματα σχετικά με τους κύκλους και θεωρείται ότι εκθέτει σε μεγάλο βαθμό τη δουλειά των οπαδών του Πυθαγόρα. Το πέμπτο βιβλίο εκθέτει το έργο του Εύδοξου σε αναλογία που εφαρμόζεται σε συγκρίσιμα και ασύμμετρα μεγέθη. Ο Heath λέει:

Το βιβλίο έκτο εξετάζει τις εφαρμογές των αποτελεσμάτων του βιβλίου πέντε στη γεωμετρία του επιπέδου.

Τα βιβλία επτά έως εννέα ασχολούνται με τη θεωρία αριθμών. Συγκεκριμένα, το έβδομο βιβλίο είναι μια αυτοτελής εισαγωγή στη θεωρία αριθμών και περιέχει τον ευκλείδειο αλγόριθμο για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών. Το βιβλίο όγδοο εξετάζει τους αριθμούς σε γεωμετρική πρόοδο, αλλά ο van der Waerden γράφει ότι περιέχει:

Το βιβλίο δέκα ασχολείται με τη θεωρία των παράλογων αριθμών και είναι κυρίως έργο του Θεαίτη. Ο Ευκλείδης άλλαξε τις αποδείξεις πολλών θεωρημάτων σε αυτό το βιβλίο, έτσι ώστε να ταιριάζουν με τον νέο ορισμό της αναλογίας που δόθηκε από τον Εύδοξο.

Τα βιβλία έντεκα έως δεκατρία ασχολούνται με την τρισδιάστατη γεωμετρία. Στο βιβλίο έντεκα δίνονται οι βασικοί ορισμοί που χρειάζονται για τα τρία βιβλία μαζί. Στη συνέχεια, τα θεωρήματα ακολουθούν ένα αρκετά παρόμοιο μοτίβο με τα δισδιάστατα ανάλογα που δόθηκαν προηγουμένως στα βιβλία ένα και τέσσερα. Τα κύρια αποτελέσματα του βιβλίου δώδεκα είναι ότι οι κύκλοι είναι μεταξύ τους ως τα τετράγωνα της διαμέτρου τους και ότι οι σφαίρες είναι μεταξύ τους ως οι κύβοι της διαμέτρου τους. Αυτά τα αποτελέσματα οφείλονται σίγουρα στον Εύδοξο. Ο Ευκλείδης αποδεικνύει αυτά τα θεωρήματα χρησιμοποιώντας τη «μέθοδο της εξάντλησης» όπως επινοήθηκε από τον Εύδοξο. Τα Στοιχεία τελειώνει με το βιβλίο δέκατο τρίτο που συζητά τις ιδιότητες των πέντε κανονικών πολύεδρων και δίνει μια απόδειξη ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε. Αυτό το βιβλίο φαίνεται να βασίζεται σε μεγάλο βαθμό σε μια προηγούμενη πραγματεία του Θεαίτη.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι αξιοσημείωτα για τη σαφήνεια με την οποία διατυπώνονται και αποδεικνύονται τα θεωρήματα. Το πρότυπο της αυστηρότητας ήταν να γίνει στόχος για τους εφευρέτες του λογισμού αιώνες αργότερα. Όπως γράφει ο Heath:

Είναι μια συναρπαστική ιστορία πώς τα Στοιχεία επιβίωσαν από την εποχή του Ευκλείδη και αυτό λέγεται καλά από τον Φάουλερ. Περιγράφει το παλαιότερο υλικό που έχει διασωθεί σχετικά με τα Στοιχεία:

Το επόμενο απόσπασμα που έχουμε χρονολογείται από το 75 – 125 μ.Χ. και πάλι φαίνεται να είναι σημειώσεις από κάποιον που προσπαθεί να κατανοήσει το υλικό των Στοιχείων.

Περισσότερες από χίλιες εκδόσεις του The Elements έχουν δημοσιευτεί από τότε που πρωτοτυπώθηκε το 1482. Ο Heath συζητά πολλές από τις εκδόσεις και περιγράφει τις πιθανές αλλαγές στο κείμενο με την πάροδο των ετών.

Ο B L van der Waerden αξιολογεί τη σημασία των Στοιχείων στο:-

Το Elements of Music είναι ένα έργο που αποδίδεται στον Ευκλείδη από τον Πρόκλο. Έχουμε δύο πραγματείες για τη μουσική που έχουν διασωθεί, και έχουν αποδοθεί από ορισμένους συγγραφείς στον Ευκλείδη, αλλά τώρα πιστεύεται ότι δεν είναι το έργο για τη μουσική που αναφέρεται από τον Πρόκλο.

Ο Ευκλείδης μπορεί να μην ήταν μαθηματικός πρώτης κατηγορίας, αλλά η μακροχρόνια φύση των Στοιχείων πρέπει να τον κάνει τον κορυφαίο δάσκαλο μαθηματικών της αρχαιότητας ή ίσως όλων των εποχών. Ως τελευταία προσωπική σημείωση, επιτρέψτε μου να προσθέσω ότι η δική μου εισαγωγή [EFR] στα μαθηματικά στο σχολείο τη δεκαετία του 1950 ήταν από μια έκδοση μέρους των Euclid’s Elements και η εργασία παρείχε μια λογική βάση για τα μαθηματικά και την έννοια της απόδειξης που φαίνεται να λείπει στα σχολικά μαθηματικά σήμερα.

Πηγή: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/