Ποια είναι η γραφική παράσταση ημιτόνου;

Πριν φτάσουμε στη γραφική παράσταση ημιτόνου,

1. ας καταλάβουμε πώς οι τιμές του ημιτόνου ποικίλλουν σε έναν μοναδιαίο τριγωνομετρικό κύκλο και
2. στη συνέχεια ας τις σχεδιάσουμε στο γράφημα.

Όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα, σημειώνουμε ότι ημθ = \frac{\text{ύψος}}{\text{υποτείνουσα}} = \frac{\text{ύψος}}{1} = ύψος (καθώς η ακτίνα ενός κύκλου μονάδας είναι 1, άρα υποτείνουσα = 1).

Όταν το θ μεταβάλλεται, η τιμή του ημθ ποικίλλει ανάλογα με τη διακύμανση του μήκους του ύψους.

Τώρα, θα μελετήσουμε τη διακύμανση της ημιτονοειδούς συνάρτησης στα τέσσερα τεταρτημόρια του επιπέδου συντεταγμένων.

Περίπτωση 1: Πως μεταβάλλεται το ύψος στο πρώτο τεταρτημόριο.

Όταν η γωνία θ μεταβάλλεται από 0° έως 90° ή π/2 rad , τότε το ύψος (το οποίο μας ενδιαφέρει αφού ημθ=ύψος=y) αυξάνεται σε μήκος, από μια αρχική τιμή 0 (όταν το θ είναι 0 ακτίνια) σε μια τελική τιμή 1 (όταν το θ είναι π/2 ακτίνια). Έτσι η τιμή του ημιτόνου αυξάνεται.

 

Περίπτωση 2: Πως μεταβάλλεται το ύψος στο δεύτερο τεταρτημόριο.

Όταν η γωνία θ μεταβάλλεται από 90° ή π/2 rad έως 180° ή π rad , τότε το ύψος (το οποίο μας ενδιαφέρει αφού ημθ=ύψος=y) μειώνεται σε μήκος, από μια αρχική τιμή 1 (όταν το θ είναι π/2 ακτίνια) σε μια τελική τιμή 0 (όταν το θ είναι π ακτίνια). Έτσι η τιμή του ημιτόνου μειώνεται.

Περίπτωση 3: Πως μεταβάλλεται το ύψος στο τρίτο τεταρτημόριο.

Όταν η γωνία θ μεταβάλλεται από 180° ή π rad έως 270° ή 3π/2 rad , τότε το ύψος (το οποίο μας ενδιαφέρει αφού ημθ=ύψος=y) αυξάνεται σε μήκος, από μια αρχική τιμή 0 (όταν το θ είναι π ακτίνια) σε μια τελική τιμή 1 (όταν το θ είναι 3π/2 ακτίνια). Έτσι η τιμή του ημιτόνου αυξάνεται.

Περίπτωση 4: Πως μεταβάλλεται το ύψος στο τέταρτο τεταρτημόριο.

Τέλος, όταν η γωνία θ μεταβάλλεται από270° ή 3π/2 rad έως 360° ή 2π rad , τότε το ύψος (το οποίο μας ενδιαφέρει αφού ημθ=ύψος=y) μειώνεται σε μήκος, από μια αρχική τιμή 1 (όταν το θ είναι 3π/2 ακτίνια) σε μια τελική τιμή 0 (όταν το θ είναι 2π ακτίνια). Έτσι η τιμή του ημιτόνου μειώνεται.

Μπορούμε τώρα να σχεδιάσουμε αυτή την μεταβολή σε ένα γράφημα για τη συνάρτηση ημιτόνου.

Ο οριζόντιος άξονας αντιπροσωπεύει τη μεταβλητή x ως γωνία σε ακτίνια (αντί για θ) και ο κατακόρυφος άξονας  y αντιπροσωπεύει την τιμή της συνάρτησης ημιτόνου. Συγχωνεύοντας την διακύμανση στην τιμή του ύψους y και για τα τέσσερα τεταρτημόρια, λάβαμε την πλήρη γραφική παράσταση του ημx, για έναν πλήρη κύκλο από 0 ακτίνια έως 2π ακτίνια (0° έως 360°). Το η γραφική παράσταση ημιτόνου φαίνεται παρακάτω: