Ποια είναι η γραφική παράσταση συνημιτόνου;

Πριν φτάσουμε στη γραφική παράσταση συνημιτόνου,

1. Θα μελετήσουμε πώς οι τιμές του συνημιτόνου ποικίλλουν σε έναν μοναδιαίο τριγωνομετρικό κύκλο και
2. Στη συνέχεια θα τις σχεδιάσουμε στο γράφημα.

Όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα, σημειώνουμε ότι:

συνθ = \frac{\text{βάση}}{\text{υποτείνουσα}} = \frac{\text{βάση}}{1} = βάση

(καθώς η ακτίνα ενός κύκλου μονάδας είναι 1, άρα υποτείνουσα = 1).

Όταν το θ μεταβάλλεται, η τιμή του συνθ αλλάζει ανάλογα με το μήκος του ύψους.

Τώρα, θα μελετήσουμε τη διακύμανση της συνάρτησης συνημιτόνου στα 4 τεταρτημόρια του επιπέδου συντεταγμένων.

Περίπτωση 1: Πως μεταβάλλεται η βάση στο 1° τεταρτημόριο.

Όταν η γωνία θ μεταβάλλεται από 0° έως 90° ( \frac{\text{π}}{2} rad) , τότε η βάση (η οποία μας ενδιαφέρει αφού συνθ=βάση=x) μειώνεται σε μήκος, από μια αρχική τιμή 1 (όταν το θ είναι 0 ακτίνια) σε μια τελική τιμή 0 (όταν το θ είναι π/2 ακτίνια). Έτσι η τιμή του συνημιτόνου μειώνεται.

 

Περίπτωση 2: Πως μεταβάλλεται η βάση στο 2° τεταρτημόριο.

Όταν η γωνία θ μεταβάλλεται από 90° ( \frac{\text{π}}{2} rad) έως 180° (π rad) , τότε η βάση αυξάνεται σε μήκος, από μια αρχική τιμή 0 (όταν το θ είναι π/2 ακτίνια) σε μια τελική τιμή 1 (όταν το θ είναι π ακτίνια). Έτσι η τιμή του συνημιτόνου αυξάνεται.

Περίπτωση 3: Πως μεταβάλλεται η βάση στο 3° τεταρτημόριο.

Όταν η γωνία θ μεταβάλλεται από 180° (π rad) έως 270° ( \frac{\text{3π}}{2} rad), τότε η βάση μειώνεται σε μήκος, από μια αρχική τιμή 1 (όταν το θ είναι π ακτίνια) σε μια τελική τιμή 0 (όταν το θ είναι \frac{\text{3π}}{2} σε ακτίνια). Έτσι η τιμή του συνημιτόνου μειώνεται .

Περίπτωση 4: Πως μεταβάλλεται η βάση στο 4° τεταρτημόριο.

Τέλος, όταν η γωνία θ μεταβάλλεται από 270° ( \frac{\text{3π}}{2} rad) έως 360° (2π rad) , τότε η βάση αυξάνεται σε μήκος, από μια αρχική τιμή 0 (όταν το θ είναι 3π/2 ακτίνια) σε μια τελική τιμή 1 (όταν το θ είναι 2π ακτίνια). Έτσι η τιμή του ημιτόνου αυξάνεται.

 

Μπορούμε τώρα να σχεδιάσουμε αυτή την μεταβολή σε ένα γράφημα για τη συνάρτηση ημιτόνου.

Ο οριζόντιος άξονας αντιπροσωπεύει τη μεταβλητή x ως γωνία σε ακτίνια (αντί για θ μοίρες) και ο κατακόρυφος άξονας  y αντιπροσωπεύει την τιμή της συνάρτησης συνημιτόνου. Συγχωνεύοντας την διακύμανση στην τιμή y για τη βάση και για τα τέσσερα τεταρτημόρια, λάβαμε την πλήρη γραφική παράσταση του συνx, για έναν πλήρη κύκλο από 0 ακτίνια έως 2π ακτίνια (0° έως 360°).

Η γραφική παράσταση συνημιτόνου φαίνεται παρακάτω: