Τι είναι το τόξο ημιτόνου;

Γενικά

Το τόξο ημιτόνου είναι μία από τις έξι κύριες αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Είναι η αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση της ημιτονοειδούς συνάρτησης. Το τόξο ημιτόνου ονομάζεται επίσης αντίστροφο ημίτονο και μαθηματικά γράφεται ως:

arcsin x ή sin^{-1}x  (ή ημ^{-1}x)

(διαβάζεται ως αντίστροφο ημίτονου x).

Ένα σημαντικό πράγμα που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι το sin^{-1}x δεν είναι το ίδιο με το (sin x)^{-1}. Στην αντίστροφη τριγωνομετρία, έχουμε έξι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις : arccos, arcsin, arctan, arcsec, arccsc και arccot.

Τι είναι το τόξο ημιτόνου;

Το τόξο ημιτόνου Arcsin είναι η αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση της συνάρτησης ημιτόνου. Μας βοηθά να βρούμε το μέτρο της γωνίας που αντιστοιχεί στην τιμή της συνάρτησης ημιτόνου.

Αν sin y = x, τότε  y = arcsin x

 

Τύπος τόξου ημιτόνου

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο arcsin όταν δίνεται η τιμή του ημιτόνου μιας γωνίας και θέλουμε να αξιολογήσουμε το ακριβές μέτρο της γωνίας. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Γνωρίζουμε ότι  ημω= \frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}. Καθώς το τόξο ημιτόνου arcsin είναι η αντίστροφη συνάρτηση της ημιτονικής συνάρτησης, επομένως, έχουμε ω= arcsin(\frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}).

Επομένως, ο τύπος για το arcsin x είναι:

ω = sin^{-1}(\frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}) = arcsin(\frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}})

Γραφική παράσταση τόξου ημιτόνου

Τώρα που γνωρίζουμε τον τύπο arcsin, θα σχεδιάσουμε το γράφημα του arcsin x χρησιμοποιώντας μερικά από τα σημεία του.

Όπως συζητήθηκε η λειτουργία της arcsin, γνωρίζουμε τις τιμές της συνάρτησης ημιτόνου για ορισμένες συγκεκριμένες γωνίες και χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους, έχουμε:

• Αν sin 0 = 0, τότε sin^{-1}0 = 0 → (0, 0)
• Αν sin π/6 = 1/2, τότε sin^{-1}(1/2) = π/6 → (1/2, π/6)
• Αν sin π/3 = √3/2, τότε sin^{-1}(√3/2) = π/3 → (√3/2, π/3)
• Αν sin π/2 = 1, τότε sin^{-1}1 = π/2 → (1, π/2)
• Αν sin (-π/4) = -√2/2, τότε sin^{-1}(-√2/2) = -π/4 → (-√2/2, -π/4)
• Αν sin (-π/6) = -1/2, τότε sin^{-1}(-1/2) = -π/6 → (-1/2, -π/6)

Τώρα, σχεδιάζοντας τα παραπάνω σημεία σε ένα γράφημα, έχουμε το γράφημα της arcsin που δίνεται παρακάτω:

Πεδίο ορισμού τόξου ημιτόνου

Σύμφωνα με τα παραπάνω, η συνάρτηση για το τόξο ημιτόνου έχει πεδίο ορισμού το [-1,1]

 

Σύνολο τιμών τόξου ημιτόνου

Η συνάρτηση για το τόξο ημιτόνου έχει σύνολο τιμών το [-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]