Τι είναι οι Τριγωνομετρικές Εξισώσεις;
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι παρόμοιες με τις αλγεβρικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα, στη θέση των μεταβλητών περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών.
Η γωνία των θ τριγωνομετρικών συναρτήσεων όπως ημθ, συνθ, εφθ χρησιμοποιείται ως μεταβλητή στις τριγωνομετρικές εξισώσεις.
Δηλαδή, αν είχαμε την γραμμική εξίσωση ax + b = 0 , όπου x η μεταβλητή και a,b σταθερές θα την γράφαμε ως εξίσωση τριγωνομετρίας ως aΗμθ + b = 0.
Όμοια με τις γενικές αλγεβρικές εξισώσεις, οι τριγωνομετρικές εξισώσεις έχουν επίσης λύσεις.
Αλλά σε αντίθεση με τις κανονικές λύσεις εξισώσεων με τον αριθμό των λύσεων με βάση το βαθμό της μεταβλητής, στις τριγωνομετρικές εξισώσεις , η ίδια τιμή λύσης υπάρχει για διαφορετικές τιμές του θ.
Για παράδειγμα, έχουμε ημθ = 1/2 = ημπ/6 = ημ5π/6 = ημ13π/6, και ούτω καθεξής, καθώς οι τιμές της συνάρτησης ημιτόνου επαναλαμβάνονται μετά από κάθε 2π ακτίνια.
Τύποι Τριγωνομετρικών Εξισώσεων
Χρησιμοποιούμε κάποια αποτελέσματα και γενικές λύσεις των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων για να λύσουμε άλλες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Τα αποτελέσματα αυτά είναι τα εξής:
- Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και θ,
ημx = ημθ σημαίνει x = 2κπ + θ ή x=2κπ+(π-θ), όπου κ ∈ Z. - Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και θ,
συνx = συνθ σημαίνει x = 2κπ ± θ, όπου κ ∈ Z. - Αν τα x και θ δεν είναι περιττά πολλαπλάσια του π/2,
τότε το εφx = εφθ σημαίνει x = κπ + θ, όπου κ ∈ Z.
Σε αντίθεση με τις κανονικές λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων με τον αριθμό των λύσεων με βάση το βαθμό της μεταβλητής, στις τριγωνομετρικές εξισώσεις αριθμός των λύσεων διαφέρει.
Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:
ΛΥΣΗ
2συνθ – 1 = 0
Θα τα πάμε όλα από το αριστερό μέλος και θα απομωνόσουμε το συνθ. Άρα: συνθ =\frac{1}{2} , (1).
Από τον τριγωνομετρικό πίνακα γνωρίζω ότι το συν\frac{π}{3}=\frac{1}{2}, (2).
Επομένως, από τις σχέσεις (1) και (2) έχω ότι συνθ =συν\frac{π}{3}.
Άρα η γενική μορφή των λύσεων είναι θ =2κπ±\frac{π}{3} , κ ∈ Z. Οι τιμές θ για διάφορες τιμές του κ είναι π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3 κ.ο.κ. καθώς οι τιμές του συνημίτονου επαναλαμβάνονται μετά από κάθε 2π ακτίνια και το συν x είναι θετικό στο πρώτο και τέταρτο τεταρτημόριο.
Έτσι προκύπτουν δύο τύποι λύσεων στις τριγωνομετρικές εξισώσεις:
Κύρια Λύση: Οι λύσεις αυτών των τριγωνομετρικών εξισώσεων, για τις οποίες το x βρίσκεται μεταξύ 0 και 2π, ονομάζονται κύριες λύσεις.
Γενική Λύση: Οι λύσεις των τριγωνομετρικών εξισώσεων πέραν του 2π ενοποιούνται όλες και εκφράζονται ως γενική λύση των τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Leave a Reply