Τι είναι τριγωνομετρικές ταυτότητες;
Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι μια θεμελιώδης πτυχή της τριγωνομετρίας, η οποία είναι η μελέτη των σχέσεων μεταξύ των γωνιών και των πλευρών των τριγώνων.
Οι ταυτότητες τριγωνομετρίας είναι χρήσιμες για την απλοποίηση εκφράσεων, την επίλυση εξισώσεων και την απόδειξη μαθηματικών θεωρημάτων σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της μηχανικής. Συσχετίζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις όπως το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Ας μάθουμε αναλυτικά μερικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.
Αντίστροφες ταυτότητες
- εφθ = \frac{1}{\text{σφθ}}
- σφθ = \frac{1}{\text{εφθ}}
Αυτές οι ταυτότητες μπορούν να γραφούν επίσης: εφθ ⋅ σφθ=1
Πυθαγόρειες Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
Οι Πυθαγόρειες τριγωνομετρικές ταυτότητες στην τριγωνομετρία προέρχονται από το θεώρημα του Πυθαγόρα.
- ημ2θ + συν2θ = 1
Αυτή οι ταυτότητα μπορεί να γραφεί επίσης:
1 – ημ2θ = συν2 θ ή 1 – συν2θ = ημ2 θ
Συμπληρωματικές και Παραπληρωματικές Ταυτότητες
Οι συμπληρωματικές γωνίες είναι ένα ζευγάρι δύο γωνιών έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με 90°. Το συμπλήρωμα μιας γωνίας θ είναι (90° – θ). Οι τριγωνομετρικοί λόγοι των συμπληρωματικών γωνιών είναι:
- ημ(90°- θ) = συνθ
- συν(90°- θ) = ημθ
- εφ(90°- θ) = σφθ
- σφ(90°- θ) = εφθ
Οι παραπληρωματικές γωνίες είναι ένα ζευγάρι δύο γωνιών έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με 180°. Το συμπλήρωμα μιας γωνίας θ είναι (180° – θ). Οι τριγωνομετρικοί λόγοι των παραπληρωματικών γωνιών είναι:
- ημ(180°- θ) = ημθ
- συν(180°- θ) = -συνθ
- εφ(180°- θ) = -εφθ
- σφ(180°- θ) = -σφθ
Ταυτότητες Αθροίσματος και Διαφοράς
- ημ(A+B) = ημA⋅ συνB + συνA⋅ ημB
- ημ(A-B) = ημA⋅ συνB – συνA⋅ ημB
- συν(A+B) = συνA⋅ συνB – ημA⋅ ημB
- συν(A-B) = συνA⋅ συνB + ημA⋅ ημB
- εφ(A+B) = \frac{\text{(εφA + εφB)}}{\text{(1 – εφA εφB)}}
- εφ(A-B) = \frac{\text{(εφA – εφB)}}{\text{(1 + εφA εφB)}}
Περιοδικές Ταυτότητες
Οι περιοδικές ταυτότητες στην τριγωνομετρία είναι ένα σύνολο ταυτοτήτων που περιγράφουν την περιοδική φύση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Μια περιοδική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που επαναλαμβάνει τις τιμές της μετά από ένα συγκεκριμένο διάστημα, γνωστό ως περίοδος της. Παρακάτω είναι οι περιοδικές ταυτότητες του ημιτόνου, του συνημιτόνου και εφαπτομένης.
- ημ(x + 2π) = ημ(x)
- συν(x + 2π) = συν(x)
- εφ(x + π) = εφ(x)
Ταυτότητες διπλών και μισών γωνιών
Τύποι διπλής γωνίας: Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες διπλής γωνίας μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς.
Για παράδειγμα, από τους παραπάνω τύπους:
ημ(A+B) = ημA⋅ συνB + συνA⋅ ημB
Αν A = B = θ και στις δύο πλευρές εδώ, παίρνουμε:
ημ(θ + θ) = ημθ⋅ συνθ + συνθ⋅ ημθ
ημ2θ = 2 ημθ⋅ συνθ
Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να αντλήσουμε τις άλλες ταυτότητες διπλής γωνίας.
- ημ2θ = 2 ημθ ⋅ συνθ
- συν 2θ = συν^2θ – ημ^2θ = 2 συν^2θ – 1 = 1 – 2ημ^2θ
- εφ2θ =\frac{2εφθ}{1 – εφ^2θ}
Τύποι μισής γωνίας: Χρησιμοποιώντας έναν από τους παραπάνω τύπους διπλής γωνίας, προκύπτει ότι
ημθ = ±\sqrt{\frac{\text{1 – συν2θ}}{2}}
Αντικαθιστώντας το θ με \frac{θ}{2} και στις δύο πλευρές,
ημ\frac{θ}{2} = ±\sqrt{\frac{\text{1 – συνθ}}{2}}
Αυτός είναι ο τύπος μισής γωνίας του ημιτόνου.
Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να εξαγάγουμε τους άλλους τύπους μισής γωνίας.
- ημ\frac{θ}{2} = ±\sqrt{\frac{\text{1 – συνθ}}{2}}
- συν\frac{θ}{2} = ±\sqrt{\frac{\text{1 + συνθ}}{2}}
- εφ\frac{θ}{2} = ±\sqrt{\frac{\text{1 – συνθ}}{\text{1 + συνθ}}}