Πεδίο Ορισμού Μιας Συνάρτησης
Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης αναφέρεται σε «όλες τις τιμές» που μπορούν να εισαχθούν σε μια συνάρτηση χωρίς να προκύψουν μη ορισμένες τιμές. Δηλαδή, το πεδίο ορισμού στα μαθηματικά είναι το σύνολο όλων των πιθανών εισόδων για τη συνάρτηση.
Για να υπολογίσουμε την τιμή της, μπορούμε να βάλουμε διάφορες τιμές του x.
Αν βάλουμε:
– x = 1, τότε f(1) = 1 → όλα καλά.
– x = 2, τότε f(2) = \dfrac{1}{2} → όλα καλά.
– x = 0, τότε f(0) = \dfrac{1}{0} → δεν ορίζεται. Στα κλάσματα δεν πρέπει να έχουμε ποτέ 0 στον παρανομαστή.
Άρα, η συνάρτηση μπορεί να δεχτεί όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός από το μηδέν. Άρα, το πεδίο ορισμού της είναι:
D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}
Γενικοί Κανόνες
Ακολουθούν οι γενικοί κανόνες που χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό του πεδίου ορισμού διαφορετικών τύπων συναρτήσεων. Εδώ το R είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
- Το πεδίο ορισμού κάθε πολυωνυμικής συνάρτησης είναι \mathbb{R} (όλοι οι πραγματικοί αριθμοί).
- Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης τετραγωνικής ρίζας \sqrt{x} είναι x \geq 0.
- Το πεδίο ορισμού μιας εκθετικής συνάρτησης είναι \mathbb{R}.
- Το πεδίο ορισμού μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι x > 0.
- Για τον καθορισμό του πεδίου ορισμού μιας ρητής συνάρτησης y = f(x), θέτουμε τον παρονομαστή ≠ 0.
Πως βρίσκω το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης;
Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, απλά εφαρμόζουμε έναν από τους παραπάνω κανόνες, ανάλογα με τον τύπο της συνάρτησης. Εδώ είναι μερικά παραδείγματα:
Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = \sqrt{x + 2}, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2 που αναφέρεται παραπάνω.Τότε έχουμε:x + 2 \geq 0.Λύνοντας αυτή την ανίσωση, παίρνουμε:x \geq -2.Επομένως, το πεδίο ορισμού της f(x) είναι [-2, \infty).
Για να υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) = \dfrac{2x + 1}{x – 2}, εφαρμόζουμε τον κανόνα 5 που αναφέρεται παραπάνω. Τότε έχουμε:x – 2 ≠ 0.Λύνοντας αυτό, παίρνουμε:x \neq 2.Επομένως, το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός του 2, που σε συμβολισμό διαστημάτων γράφεται ως (-\infty, 2) \cup (2, \infty).
Παράδειγμα 3:Ας υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h(x) = 2 – \sqrt{-3x + 2}.
Για το πεδίο ορισμού, η τετραγωνική ρίζα ορίζεται μόνο όταν η τιμή στο εσωτερικό της είναι μη αρνητική. Έτσι, έχουμε:
-3x + 2 \geq 0.
Λύνοντας αυτή την ανίσωση:
-3x \geq -2,
x \leq \dfrac{2}{3}.
Επομένως, το πεδίο ορισμού της h(x) είναι (-\infty, \frac{2}{3}].
Πεδίο Ορισμού από Γράφημα
Είναι πολύ εύκολο να βρούμε το πεδίο ορισμού από ένα γράφημα. Το σύνολο των τιμών του x που καλύπτονται από το γράφημα δίνει το πεδίο ορισμού. Ωστόσο, πρέπει να σημειώσουμε τα εξής όταν γράφουμε το πεδίο ορισμού από ένα γράφημα:
- Αν υπάρχει κάποια «τρύπα» στο γράφημα, τότε οι συντεταγμένες αυτής της τρύπας δεν πρέπει να περιλαμβάνονται στο πεδίο ορισμού.
- Αν υπάρχει κατακόρυφη ασύμπτωτη, τότε η αντίστοιχη τιμή του x δεν πρέπει να περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού.
- Αν το γράφημα είναι σπασμένο σε κομμάτια, τότε παίρνουμε πολλαπλά σύνολα/διαστήματα στο πεδίο ορισμού και ενώνουμε όλα αυτά τα σύνολα/διαστήματα με το σύμβολο της ένωσης \cup.
- Αν υπάρχει βέλος στο τέλος μιας καμπύλης, τότε σημαίνει ότι η καμπύλη επεκτείνεται άπειρα προς την αντίστοιχη κατεύθυνση.
Ακολουθεί ένα παράδειγμα γραφήματος όπου θα βρούμε το πεδίο ορισμού:
Στο παραπάνω γράφημα:Όλες οι τιμές του x από -\infty έως \infty καλύπτονται από το γράφημα (λόγω των βελών, οι δύο καμπύλες εκτείνονται άπειρα στις δεδομένες κατευθύνσεις). Επομένως, το πεδίο ορισμού είναι (-\infty, \infty).Ακολουθεί ένα παράδειγμα γραφήματος όμοιου του προηγούμενου παραδείγματος με μία σημαντική διαφορά:
Στο παραπάνω γράφημα:Όλες οι τιμές του x από το -4 έως \infty καλύπτονται από το γράφημα ( στη θέση -4 υπάρχει σημείο με κλειστή τρύπα και όχι βέλος). Επομένως, το πεδίο ορισμού είναι [-4, \infty).
Αφήστε μια απάντηση