Τι είναι η 1-1 συνάρτηση;

Μια συνάρτηση 1-1 (ένα προς ένα) είναι μια ειδική συνάρτηση που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του πεδίου τιμών σε ένα μόνο στοιχείο του πεδίου ορισμού, δηλαδή οι τιμές εξόδου δεν επαναλαμβάνονται.

Αλγεβρικός Ορισμός Συνάρτησης Ένα προς Ένα

Μια συνάρτηση g: D \rightarrow F λέγεται ότι είναι ένα προς ένα αν:

για όλα τα στοιχεία x_1 και x_2 \in D . Το αντίστροφο της παραπάνω ορισμού είναι: μια συνάρτηση g: D \rightarrow F είναι ένα προς ένα αν:

Ας το οπτικοποιήσουμε αυτό με την αντιστοίχιση δύο ζευγών τιμών, για να συγκρίνουμε συναρτήσεις που είναι και που δεν είναι ένα προς ένα.

Σχηματική Αναπαράσταση Συνάρτησης Ένα προς Ένα

Στο αριστερό Σχήμα (το οποίο είναι ένα προς ένα), το x είναι το πεδίο ορισμού και το f(x) είναι το πεδίο τιμών. Παρομοίως, στο η ορισμού και το f(x) είναι ένα πεδίο τιμών.

Στο δεξιό Σχήμα, για κάθε τιμή του x , υπάρχει μόνο μία μοναδική τιμή του f(x) , και έτσι η f(x) είναι συνάρτηση ένα προς ένα.

Στο δεξιό Σχήμα, διαφορετικές τιμές του x , όπως 2 και 3 , αντιστοιχίζονται σε μια κοινή τιμή f(x) ίση με 9 . Έτσι, η f(x) στα δεξιά δεν είναι συνάρτηση ένα προς ένα.

Τεστ Οριζόντιας Γραμμής

Το τεστ οριζόντιας γραμμής χρησιμοποιείται για να καθοριστεί αν μια συνάρτηση είναι ένα προς ένα, όταν δίνεται το γράφημά της. Έχουμε ήδη δει την προϋπόθεση g(x_1) = g(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 για να καθορίσουμε αν μια συνάρτηση g(x) είναι ένα προς ένα αλγεβρικά. Από την άλλη πλευρά, για να ελέγξουμε αν μια συνάρτηση είναι ένα προς ένα από το γράφημά της:

• Πάρτε μια οριζόντια γραμμή (σκεφτείτε μια οριζόντια ράβδο) και αφήστε την να περάσει από το γράφημα.
• Αν η οριζόντια γραμμή δεν περνάει από περισσότερα από ένα σημεία του γραφήματος σε καμία χρονική στιγμή, τότε η συνάρτηση είναι ένα προς ένα.
• Αν η οριζόντια γραμμή περνάει από περισσότερα από ένα σημεία του γραφήματος κάποια στιγμή, τότε η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα.

Ιδιότητες της Συνάρτησης Ένα προς Ένα

Μια συνάρτηση ένα προς ένα, δηλαδή μια μονοσήμαντη συνάρτηση, αντιστοιχίζει τα διακριτά στοιχεία του πεδίου ορισμού στα διακριτά στοιχεία του συνόλου τιμών της. Εδώ είναι μερικές ιδιότητες που βοηθούν στην κατανόηση των χαρακτηριστικών των συναρτήσεων ένα προς ένα:

• Αν δύο συναρτήσεις f(x) και k(x) είναι ένα προς ένα, η σύνθεση τους f \circ k είναι επίσης συνάρτηση ένα προς ένα. Δηλαδή:

(f \circ k) (x_1) = (f \circ k) (x_2) \Rightarrow
f(k(x_1)) = f(k(x_2)) \Rightarrow
k(x_1) = k(x_2) \Rightarrow
x_1 = x_2

• Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι ίσο με το πεδίο τιμών της g^{-1} και το πεδίο τιμών της g είναι ίσο με το πεδίο ορισμού της g^{-1} .
• Αν μια συνάρτηση είναι ένα προς ένα, τότε το γράφημά της θα είναι είτε αύξον είτε φθίνον σε όλο το πεδίο ορισμού της.
• g^{-1} (g(x)) = x για κάθε x στο πεδίο ορισμού της g και g(g^{-1}(x)) = x για κάθε x στο πεδίο ορισμού της g^{-1} .
• Αν f \circ k είναι μία συνάρτηση ένα προς ένα, τότε και η k(x) είναι επίσης εγγυημένα συνάρτηση ένα προς ένα.
• Το γράφημα μιας συνάρτησης και το γράφημα του αντίστροφου της είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y = x .

Πώς να Καθορίσουμε Αν μια Συνάρτηση Είναι Ένα προς Ένα

Τα τεστ κάθετης γραμμής χρησιμοποιούνται για να καθορίσουμε αν μια δεδομένη σχέση είναι συνάρτηση. Επιπλέον, μπορούμε να καθορίσουμε αν μια συνάρτηση είναι ένα προς ένα με τρεις τρόπους:

1. Γραφικός Έλεγχος: Αν το γράφημα της g(x) περνάει από μοναδική τιμή του y κάθε φορά, τότε η συνάρτηση είναι ένα προς ένα (τεστ οριζόντιας γραμμής).
2. Αλγεβρικός Έλεγχος: Η συνάρτηση g λέγεται ένα προς ένα αν a = b για κάθε g(a) = g(b) .
3. Με χρήση Παραγώγου: Αν η παράγωγος g'(x) είναι είτε θετική είτε αρνητική σε όλο το πεδίο ορισμού, τότε η συνάρτηση είναι 1-1.
Για παράδειγμα, η εκθετική συνάρτηση f(x) = e^x είναι 1-1, καθώς είναι συνεχώς αύξουσα: g'(x) > 0 \Rightarrow \text{η } g(x) \text{ είναι 1-1}